2019-2021年上海各区一模压轴题分类汇编25题-动点背景下的线段问题

专题 动点函数下的线段问题 【历年真题】 1．（2021秋•浦东新区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点O是边AC 上的一个动点，过O作OD⊥AB，D为垂足，在线段AC上取OE＝OD，联结ED，作EP ⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F． （1）如图1所示，求证：△ADE∽△AEP； （2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）当BF＝1时，求线段AP的长． 【考点】相似形综合题．版权所有 【专题】几何综合题；推理能力． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可证∠ADE＝∠AEP，且∠A＝∠A，可证结论成立； （2）由OD∥BC，得，可知AD＝，DO＝EO＝，由（1）知△ADE∽△AEP，得AE2＝AD•AP，有（x+）2＝，变形即可得出答案； （3）当点P在线段AB上时，由△PBF∽△PED，得，由△ADE∽△AEP，得，则，代入解方程即可；当点P在AB的延长线上时，首先通过导角得出∠CEF＝∠CFE，得EC＝FC＝2，过点E作EG⊥CF于点G，由相似得，则EG＝，CG＝，再利用EG∥BP，得，从而解决问题． 【解答】（1）证明：∵OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED， ∵OD⊥AB，EP⊥ED，∴∠ADO＝∠PED， ∴∠ADO+∠ODE＝∠PED+∠OED， ∴∠ADE＝∠AEP， ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEP； （2）解：∵OD⊥AP，BC⊥AB，∴OD∥BC， ∴，∴AD＝，DO＝EO＝， 由（1）知△ADE∽△AEP，∴ ∴AE2＝AD•AP， ∴（x+）2＝， ∴y＝； （3）解：①当点P在线段AB上时，如图1，BP＝4﹣y＝4﹣， ∵△PBF∽△PED，∴， ∴△ADE∽△AEP，∴，∴， ∴，∴x＝，∴AP＝2， ②当点P在AB的延长线上时，如图2， ∵∠CFE＝∠PFB＝∠PDE， ∠CEF+∠DEO＝∠PDE+∠EDO， ∴∠CEF＝∠CFE，∴EC＝FC＝2， 过点E作EG⊥CF于点G， ∴，∴EG＝，CG＝， ∴EG∥BP，∴， ∴PB＝2，∴AP＝2+4＝6， 综上所述，AP＝2或6． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，运用分类讨论思想是正确解题的关键． 2．（2021秋•青浦区期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝， tan∠ABC＝2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠ BEF＝∠DCB． （1）求线段BC的长； （2）当FB＝FE时，求线段BF的长； （3）当点E在线段AD的延长线上时，设DE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【考点】四边形综合题．版权所有 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【分析】（1）如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．根据矩形的性质得到AD＝HG＝2，AH＝DG，解直角三角形即可得到结论； （2）如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，根据矩形的性质得到EM＝AH＝2，解直角三角形即可得到结论； （3）如图2，过点E作EN∥DC，交BC的延长线于点N．根据平行四边形的性质得到DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，根据相似三角形的性质得到BE2＝BF•BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，根据矩形的性质得到EQ＝DG＝2，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G． ∴AH∥DG， ∵AD∥BC，∴四边形AHGD是矩形， ∴AD＝HG＝2，AH＝DG， 在Rt△ABH中，tan∠ABC＝2，AB＝，∴＝2， ∴AH＝2BH， ∵AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（）2，∴BH＝1，∴AH＝2， ∴DG＝2， 在Rt△DGC中，DC＝， ∴CG＝＝4， ∴BC＝BH+HG+GC＝1+2+4＝7； （2）如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，∴AH∥EM， ∵AD∥BC，∴四边形AHME是矩形， ∴EM＝AH＝2，在Rt△DGC中，DG＝2，CG＝4， ∴tan∠DCB＝＝， ∵FB＝FE，∴∠FEB＝∠FBE． ∵∠FEB＝∠DCB， ∴∠FBE＝∠DCB，∴tan∠FBE＝．∴＝， ∴BM＝4， 在Rt△EFM中，FM2+EM2＝FE2， ∴（4﹣FB）2+22＝FB2，∴BF＝； （3）如图2，过点E作EN∥DC，交BC的延长线于点N． ∵DE∥CN，∴四边形DCNE是平行四边形， ∴DE＝CN，∠DCB＝∠ENB， ∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FEB＝∠ENB， 又∵∠EBF＝∠NBE， ∴△BEF∽△BNE， ∴