2019-2021年上海各区一模压轴题分类汇编25题-动点背景下的直角、等腰三角形及四边形

专题 动点函数下的等腰、直角三角形 【历年真题】 1．（2021秋•长宁区期末）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的 动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D． （1）如图，如果OC＝2，求的值； （2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长； （3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力． 【分析】（1）通过证明△ABC∽△OEC，可求EC的长，AE的长，通过证明△ADE∽△ODB，可求解； （2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解； （3）通过证明△CDA∽△BEO，可得，通过证明△ABE∽△ODC，可得，列出等式可求解． 【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，OE＝OC＝2，∴∠B＝∠C，∠C＝∠OEC， ∴∠B＝∠OEC＝∠AED， 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△OEC，∴，∴，∴EC＝， ∴AE＝， ∵∠ADE＝∠ADE，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ODB， ∴； （2）如图1，当点E在AC上时， ∵∠AEO＞90°，△AEO是等腰三角形，∴AE＝EO， 由（1）可知：△ABC∽△OEC，∴，∴，∴EC＝OC， ∵AC＝AE+EC＝OC+OC＝5，∴OC＝； 当点E在线段CA的延长线上时，如图2， ∵△AEO是等腰三角形，∴AE＝AO，∴∠E＝∠AOE， ∵∠B＝∠C＝∠OEC，∴∠B＝∠AOE， ∴△ABC∽△AOE，∴，∴，∴AE＝OC， 由（1）可知：△ABC∽△OEC，∴，∴，∴EC＝OC， ∵AC＝EC﹣AE＝5，∴OC﹣OC＝5， ∴OC＝， 综上所述：线段OC的长为或； （3）如图3，当点E在线段AC上时， ∵∠ABE＝∠CDO，∠ABC＝∠OEC， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠OEC﹣∠ODC，∴∠EBO＝∠DCA， ∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB，∠BOE＝∠ACB+∠OEC＝2∠ACB， ∴∠DAC＝∠BOE， ∴△CDA∽△BEO，∴， ∵∠ABE＝∠ODC，∠BAC＝∠DOC，∴△ABE∽△ODC，∴，∴， ∴， ∴OC＝8﹣或OC＝8+（不合题意舍去）， ∴OC＝8﹣． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．（2021秋•闵行区期末）已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，点E在射线CB上，点在射线CD上，且∠EAF＝∠BAD． （1）如图①，如果∠BAD＝90°，求证：AE＝AF； （2）如图②，当点E在CB的延长线上时，如果∠ABC＝60°，设DF＝x，＝y，试建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结AC，BE＝2，当△AEC是等腰三角形时，请直接写出DF的长． 【考点】四边形综合题．版权所有 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【分析】（1）先证明四边形ABCD是正方形，再证明△ABE≌△ADF，从而命题得证； （2）在AD上截取DG＝DF，先证明△DGF是正三角形，再证明△ABE∽△AGF，进一步求得结果； （3）当AE＝AC时，作AH⊥CE于H，以F为圆心，DF为半径画弧交AD于G，作FN⊥AD于N，证明△ABH∽△FND，∠AGF＝∠ABE，可推出，再证明△ABE∽△AGF，可推出，从而求得DF，当AC＝CE＝6时，作AH⊥CE于H，以F为圆心，DF为半径画弧交AD于G，作FN⊥AD于N，作BM⊥AC于M，先根据S△ABC＝＝BC•AH求得AH，进而求得BH，根据△ABH∽△FGN，△ABE∽△AFF，和，从而求得DF，根据三角形三边关系否定AE＝CE，从而确定DF的结果，当点E在BC的中点时，同样的方法求得结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝90°，∴菱形ABCD是正方形， ∴∠BAE＝∠ABC＝∠ADF＝90°，AD＝AB， ∵∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AE＝AF； （2）如图1， 在AD上截取DG＝DF， ∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，AD＝AB＝6， ∴△DGF是正三角形， ∴∠DFG＝60°，GF＝DF＝DG＝x， ∴∠AGF＝∠ABE＝120°，AG＝4﹣x， ∵∠BAE＝∠DAF，∴△ABE∽△AGF，∴， ∴y＝（0＜x＜4） （3）如图2， 当AE＝AC时，作AH⊥CE于H，以F为圆心，DF为半径画弧交AD于G，作FN⊥AD于N， ∴CH＝CE＝×（4+2）＝3，∠FND＝∠AHB＝90°，∠D＝∠FGD，DG＝2DN，