6.1.2 空间向量的数量积（题型专训）-高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.1.2空间向量的数量积 一、单选题 1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（    ） ①   ②   ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的运算性质及运算律可判断①③，利用数乘向量的结合律可判断②，利用数量积的意义及相等向量判断④作答. 【解析】由向量数量积的运算性质知，①正确；由数乘向量的结合律知，②正确； 因，③正确； 都表示两个非负实数，表示与共线的向量，表示与共线的向量，即与不一定相等，④不正确. 故选：D 2．在正方体中，有下列命题： ①；②；③与的夹角为． 其中正确的命题有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据空间向量的垂直和异面直线所成的角求解即可 【解析】解：对于①， 所以①正确； 对于②，， 所以②正确； 对于③，因为∥,分别为面的对角线， 所以,所以与的夹角为，所以③错误 故选：B 【点睛】此题考查空间向量垂直和异面直线所成的角，属于基础题 3．若向量垂直于向量和，向量，，且，则　　 A． B． C．不平行于，也不垂直于 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据平面向量垂直的定义和数量积运算的性质，即可判断． 【解析】解：向量垂直于向量和，则，， 又向量， 所以， 所以． 故选：． 4．在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图建系，求得各点坐标，可得，根据投影向量的求法，代入公式，即可得答案. 【解析】过作，分别以为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设正三棱柱的棱长为2， 则， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：B 5．已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律即可求出，进而求出结果. 【解析】因为与垂直，所以， 即， 所以. 又，所以. 故选：D. 6．三棱锥中，，，，则等于 A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果． 【解析】解：因为， 即， 所以 故选：． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量，属于基础题． 7．已知空间向量满足，，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【分析】设与的夹角为θ，由，得，两边平方化简可得答案 【解析】设与的夹角为θ， 由，得， 两边平方，得， 因为， 所以，解得， 故选：D. 8．正方体的棱长为1，为棱的中点，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量数量积的运算律对选项逐一判断， 【解析】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，平面，则，故C错误， 对于D，，， 由垂直关系化简得，故D错误， 故选：B 9．已知为两两垂直的单位向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果. 【解析】由题意知：，， ，. 故选：B. 10．已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（     ） A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】A 【分析】利用向量的数量积公式即可求解. 【解析】如图，平行六面体中， 向量、、两两的夹角均为， 且，，， . ， 故选：A. 11．在棱长为1的正方体中，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方体的性质可知、、两两垂直，从而对化简可得答案； 【解析】解：由题意可得，， 所以，，所以，， 所以， 故选：B 12．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解 【解析】分别取BC，AD的中点E，F，则， 所以， 故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，， 又， 所以，， 所以的取值范围为． 故选：D． 二、多选题 13．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可； 【解析】解：对于A：，故A正确； 对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：AD 14．三棱锥中，两两垂直，且，下列命题为真命题的是（    ） A． B． C．和的夹角为 D．三棱锥的体积为 【答案】ABC 【分析】根据空间向量数