6.1.2 空间向量的数量积（课件）-高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.1.2空间向量的数量积 第6章 空间向量与立体几何 教师 xxx 苏教版（2019） 选择性必修第二册 O B A 1.平面向量的数量积 2.平面向量的夹角 3.数量积运算律 复习引入 2 O B A 1.平面向量的数量积 2.平面向量的夹角 3.平面向量数量积的几何意义 C D E 复习引入 3 思考探究： 探究新知 4 思考探究： 空间向量与平面向量一样只要求出模与夹角就可以求其数量积 探究新知 5 O A B 探究新知 6 O B A 1.空间向量的数量积 2.空间向量的夹角 5.空间向量的几何意义 A1 3.数量积运算律 4.向量垂直 探究新知 7 （1）如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，＝||cos〈，〉，向量称为向量在向量上的投影向量.类似地，可以将向量向直线投影(如图(2)). 向量投影 （2）如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到 ，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 探究新知 数量积的几何意义 向量在平面上的投影 典型例题 9 向量在平面上的投影 典型例题 10 典型例题 11 典型例题 12 一、数量积的计算 例4　如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： ＝cos 60°－cos 60°＝0. 典型例题 反思感悟 求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入＝求解. 探究新知 跟踪训练　(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 A 解析　∵且 ∴ ＝3＋0－2＝1. 2 ＝4－0＋0－2＝2. 探究新知 二、利用数量积证明垂直问题 例5　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|. 又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD. 反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可. (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可. 探究新知 跟踪训练　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 证明　在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD， 所以AD2＋BD2＝AB2， 探究新知 三、用数量积求解夹角和模 例6　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点. 典型例题 典型例题 延伸探究 2.(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角. 所以异面直线CA1与AB的夹角为60°. 探究新知 反思感悟 求向量的夹角和模 (1)求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝ 求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉. (2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝ ，计算出|a|，即得所求长度(距离). 探究新知 A.30° B.60° C.90° D.120° D 跟踪训练 探究新知 1．空间向量夹角定义的三个关注点 (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样． (2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉． 探究新知 探究新知 3．对空间向量的数量积的两点说明 (1)运算结果：空间向量数量积的结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积． (2)运算符“·”：其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“×”代替． 探究新知 探究新知 1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（ ） A 2.设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有（ ） C 课堂练习 D 4.若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝_____. 解析　|a－b＋2c|2＝(a