6.3.4空间距离的计算-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.4空间距离的计算 目标导航 课程标准 重难点 1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2. 体会向量方法在解决几何问题中的作用. 重点：会用空间向量方法求立体几何中的距离 问题. 难点：理解距离的向量表示及求解方法. 知识精讲 知识点01 两点间的距离 1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）， |AB|= 2用向量表示 两点间距离=(,,),|AB|= 【即学即练1】如图所示，在120°的二面角α­AB­β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长． 【即学即练2】如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 知识点02 点到平面的距离 定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d= 【即学即练3】已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　) A．10　　　　　　　　　 B．3 C． D． 【即学即练4】如图所示，已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离． 知识点03 点到直线的距离 定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d== 设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=||sin<,e> 【即学即练5】在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°．D是BC边的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，DE＝1，则点E到斜边AC的距离是________． 【即学即练6】如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______ . 知识点04 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 1.当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． 2.当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． 如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝． 【即学即练7】两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【即学即练8】已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 能力拓展 ◆考点01 用向量法求点线距 【典例1】已知正四棱柱中，，，点为棱的中点． (1)求二面角的余弦值； (2)连接，若点为直线上一动点，求当点到直线距离最短时，线段的长度． 【典例2】如图，正方形的中心为O，四边形为矩形，平面 平面，点G为 的中点， . (1)求证： 平面 ； (2)求点D到直线的距离. ◆考点02 用向量法求点面距 【典例3】布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【典例4】如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1． (1)求证：BE∥平面DCF； (2)求点B到平面DCF的距离． 【典例5】如图，在正四棱柱中，，，点E为中点，点F为中点. (1)求证：； (2)求点F到平面BDE的距离. ◆考点03 用向量法求线面距 【典例6】如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面. (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线到平面的距离. 【典例7】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，，，是棱的中点. (1)求证：平面ACQ； (2)求直线PB到平面ACQ的距离. ◆考点04 用向量法求面面距 【典例8】直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点． (1)求证：平面 平面； (2)求平面与平面的距离． ◆考点05 用向量法求线线距 【典例9】如图，在长方体中，，，求： (1)点到直线BD的距离； (2)点到平面的距离； (3)异面直线之