拓展三：数列与不等式 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

拓展三：数列与不等式 知识点1 求解数列不等式恒成立问题的常用方法 先利用等差数列与等比数列等知识化简不等式，再通过解不等式解得，或转化利用最值法解得. 知识点2 数列不等式证明问题 证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法. 一、数学归纳法 一般地，证明一个与自然数有关的命题，有如下步骤： （1）证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当（，为自然数）时命题成立，证明当时命题也成立. 综合（1）（2），对一切自然数（），命题都成立. 二、放缩法 证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法. 放缩的技巧： ①添加或舍去一些项，如： ②将分子或分母放大或缩小，如： ③利用基本不等式等，如： 三、分析法 证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法. 用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”. 一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程. 知识点3 数列中的最值问题 求解数列中的最值问题，常结合不等式来求解.求解方法有：建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；或先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；或利用条件中的不等关系确定最值. 知识点4 数列不等式的探索性问题 数列不等式中的探索性问题主要表现为存在型，求解的方法是：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；若推理得不出矛盾，能求得在范围内的数值，则得到肯定的结论，即得到存在的结果. 考点一 数列不等式恒成立问题 1．（2022春·上海·高二期中）数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2022春·吉林辽源·高二辽源市第五中学校校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，若恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（2022春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）已知数列满足，，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2022春·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）已知正项数列的前项和为，且满足，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 5．（2022春·宁夏银川·高二校考期中）已知数列的前项和为，，当时，. (1)求； (2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 6．（2022·高二单元测试）已知数列{an}的前n项和为，，数列{bn}满足b1＝1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2＝0上． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)令，求数列的前n项和Tn； (3)若，求对所有的正整数n都有成立的k的取值范围． 7．（2022春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知在数列中，和为方程的两根，且． (1)求的通项公式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 考点二 数列不等式的证明问题 8．（2022秋·吉林·高二东北师大附中校考阶段练习）已知数列，满足，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)设数列的前n项和为，求证：． 9．（2022春·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，，. (1)求； (2)若，证明：. 10．（2022春·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)令，数列{}的前项和为，证明：对于任意的，都有． 11．（2022春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）设，数列满足，数列的通项公式为. (1)已知，求的值； (2)若，以，求数列最大项及相应的值； (3)设为数列其前项和，令，数列的前项和为.证明：. 12．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）已知数列满足． (1)证明：数列是等差数列； (2)证明：． 13．（2022春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考阶段练习）设数列的前项和为，且，若对任意的，均有是常数且成立，则称数列为“数列”. (1)若数列为“（1）数列”，求数列的通项公式； (2)若数列为“数列”，且，设，证明. 14．（2022·湖南郴州·高二安仁县第一中学阶段练习）已知数列中，，当时，，记． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 15．（2022春·宁夏银川·高二校考期中）已知数列的前n项和为，. (1)证明：数列为等比数