第07讲 勾股定理中的实际应用问题-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第07讲 勾股定理中的实际应用问题 【学习目标】 1、利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题（梯子滑动、风吹莲动、折竹抵地、台风和爆破、航行和信号塔、速度等问题）。 2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题. 【考点剖析】 考点1：梯子滑动问题 【解题技巧】梯子滑动问题解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 注意：梯子长度为不变量。 主要题型：常见题型有梯子滑动、绳子移动等题型。 例1．（2022·江苏八年级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度． 【答案】2.2米 【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，米，米， ．在△中，，米，， ，，，米，米， 答：小巷的宽度为2.2米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 变式1．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）． （2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米． 【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得； （2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可． 【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变， ∴，故答案为：=； （2）∵A、B、F三点共线， ∴在中，， ∵，∴在中，， 由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 考点2：风吹草动问题 【解题技巧】风吹莲动问题解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。 注意：“莲花”高度为不变量。 主要题型：常见题型有莲花、芦苇、吸管、筷子等题型。 例2．（2022·江苏泰州市·八年级期末）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺． 【答案】13 【分析】设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺， 因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺 在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，解之得x=13，即芦苇长13尺．故答案为：13． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 变式2．（2022·西安市八年级月考）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　） A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米 【答案】A 【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m， 在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，解得x=1.5．故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 考点3：折竹抵地 【解题技巧】折竹抵地问题解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。 注意：“竹子”高度为不变量。 主要题型：常见题型有有风筝线、旗杆绳等题型。 例3．（2022成都市八年级月考）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3