第06讲 勾股定理的逆定理-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第06讲 勾股定理的逆定理 【学习目标】 1、熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形，能够运用勾股定理逆定理解决简单的实际问题。 2、理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数。 3、熟练掌握分类讨论的数学思想。 【基础知识】 1.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。 注意：1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. 2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 3）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形. 2.勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数 3.常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 注意：这两组勾股数的整倍数也是勾股数，如：3、4、5是勾股数，则6、8、10也必是勾股数。在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2。 【考点剖析】 考点1：判断三边能否构成直角三角形 例1．（2022·河南初二期中）适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为 ①②，∠A=45°;③∠A=32°, ∠B=58°； ④⑤⑥ ⑦⑹ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：，故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形； 根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形； 根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形； 由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形； 令a=3x，b=4x，c=5x，可知a2+b2=c2，故⑥能够成直角三角形； 根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形； 由a2=25，b2=144，c2=169，可知a2+b2=c2，故⑧能够成直角三角形.故选：C. 点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单. 变式1．（2022·福建福州·八年级期中）△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（ ） A．b2＝a2﹣c2 B．a∶b∶c＝1∶2∶2 C．2∠C＝∠A＋∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可进行排除选项． 【详解】解：A、由可根据勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合题意； B、由a∶b∶c＝1∶2∶2可得，则△ABC是等腰三角形，故不符合题意； C、由2∠C＝∠A＋∠B结合三角形内角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意； D、由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5结合三角形内角和可得，所以△ABC不是直角三角形；故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键． 考点2：勾股数 例2．（2022·湖北八年级期末）下列四组数据中，不是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，41 【答案】B 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】A、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意； B、42+72≠92，不能构成直角三角形，不是勾股数，符合题意； C、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意； D、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意．故选：B． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，勾股定理，理解勾股数的定义是解题的关键． 变式2．（2022·江苏邗江·八年级期中）下列各组数是勾股数的是（ ） A．12、15、18 B．0.3、0.4、0.5 C．12、16、20 D．1.5、3、2.5 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理与勾股数为正整数的特征对各选项进行一一判定即可． 【详解】解：∵122+152=144+225=369≠182，故选项A不是勾股数； ∵0.3、0.4、0.5不是整数，故选项B不是勾股数； ∵122+162=144+256=400=202，故选项C是勾股数； ∵1.5、3、2.5不是整数，故选项D不是勾股数；故选C． 【点睛】本题考查勾股数，掌握勾股数是正整数，勾股定理逆定理是解题关键． 考点3：勾股数与规律探究 例3．（2022·山西八年级期末）阅读