第05讲 勾股定理-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第05讲 勾股定理 【学习目标】 1、熟练掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题。 2、掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理解决弦图等相关问题． 3、熟练掌握重要的数学思想：方程思想。 【基础知识】 1、勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 注意： 1）仅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理则需要有直角三角形或通过辅助线构造直角三角形）； 2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，只有c是斜边时才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式。 3）利用勾股定理，若无法直接找出其中的两条边，则可设定一条边长为未知数，根据题目已知的条件能表示其他的边（可以是设定的未知数表示，也可以是具体的数字），再建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的。 2、勾股定理的验证：据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的是“勾股圆方图”（即赵爽弦图）和毕达哥拉斯的证法。 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.（赵爽的证法） 　图（1）中，所以. 图（1） 图（2） 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.（毕达哥拉斯的证法） 图（2）中，所以. 【考点剖析】 考点1：利用勾股定理解直角三角形 例1．（2022·江苏八年级期末）如图，等腰中，，，于，且．则__________． 【答案】 【分析】在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD，再设AD=x，则AB=AC=AD+CD=6+x，最后在Rt△ABD中由勾股定理求出x即可求解． 【详解】解：在Rt△BCD中，由勾股定理可知， 设AD=x，则AB=AC=AD+CD=x+6，在Rt△ABD中，由勾股定理可知AB²=AD²+BD²，代入数据： (x+6)²=x²+8²，解得x=，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，本题的关键是设AD=x，进而将AB用x的代数式表示，在Rt△ABD中使用勾股定理求出x求解． 变式1．（2022·广西八年级期末）如图，ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，则CD的长是______． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质和已知条件分别求得，再根据三角形面积公式求得，进而求得． 【详解】过点作于， AD平分∠BAC，， ∠ACB=90°，AB=5，AC=3，， ，， ， ，， ，，即，．故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键． 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积问题 例2．（2022·贵州铜仁·八年级期中）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________． 【答案】     12；     s1+s2=s3 【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角形面积公式与勾股定理，得到S1，S2，S3三者之间的关系，完成解答． 【详解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2， 又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12， 又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3， ∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2， ∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3． 【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理． 变式2．（2022·上饶市广信区第七中学初二期中）已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】50 【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍． 【解析】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5， S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB= 故答案为：50. 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间