第08讲 勾股定理中的最短路线与翻折问题-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第08讲 勾股定理中的最短路线与翻折问题 【学习目标】 1．熟练掌握勾股定理中最短路径的解题思路（转化思想）； 2．熟练掌握勾股定理中的翻折、旋转等动态问题。 【基础知识】 1、几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 2、勾股定理在有关图形折叠（翻折）、旋转计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 【考点剖析】 考点1：.圆柱有关的最短路径问题 例1．（2022·广东·常春藤国际学校八年级期中）如图，一个圆柱体的底面周长为24，高BD＝5，BC是直径．一只蚂蚁从点D出发，沿着表面爬到C的最短路程为 _______． 【答案】 【分析】根据题意，有2条路线，①先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解，②沿D-B-C路线求得路程比①更短，据此即可求解． 【详解】解：将圆柱体展开，连接DC， 圆柱体的底面周长为24，则DE=12，根据两点之间线段最短， CD=．而走B-D-C时，路程为， ∵，∴蚂蚁从点D出发，沿着表面爬到C的最短路程为．故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开--最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 变式1．（2022·绵阳市·八年级课时练习）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m． 【答案】 【分析】根据题意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，线段AE即为滑行的最短路线长．在R t△ADE中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长． 【详解】解：如图， 根据题意可知：AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20， 线段AE即为滑行的最短路线长．在Tt△ADE中，根据勾股定理，得 AE＝（m）．故答案为： 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解决本题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求最短距离． 变式2．（2022·河南八年级月考）如图所示，有一根高为的木柱，它的底面周长为，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱沿母线剪开并展开，则这根彩带的长应为7个圆柱侧面展开图并排后的长方形的对角线，利用勾股定理求值即可． 【详解】解：将圆柱沿母线剪开并展开，则这根彩带的长最少应为7个圆柱侧面展开图并排后的长方形的对角线，如图所示，AC即为所求，其中AB=40×7=280cm，BC=2.1m=210cm 根据勾股定理可得AC==350cm故选B． 【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理和两点之间线段最短是解题关键． 考点2：长方体有关的最短路径问题想 例2．（2022·四川乐山·八年级期末）如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（　 　） A．12cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可. 【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB= cm； 如图2所示，cm， 如图3所示，cm， ∵＜4＜， ∴蚂蚁所行的最短路线为cm. 【点睛】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题. 变式1．（2022·广东·八年级期中）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是_______cm． 【答案】15 【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图，AA′＝3+4+5＝12cm，A′B＝9cm，∠AA′B＝90°， ∴AB＝ ＝15cm，故答案为：15． 【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理，画出三棱柱的侧面展开图，运用勾股定理是解题关键． 变式2．（2022·河南南阳·八年级期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，