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导学微点2 构造法求数列的通项公式
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类型1 递推公式形如an+1=qan+p(p≠0,q≠0且q≠1)
已知数列{an}满足an+1=3an-1,a1=2,求数列{an}的通项公式.
[解] ∵an+1=3an-1,∴an+1- eq \f(1,2) =3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an-\f(1,2))) ,∴ eq \f(an+1-\f(1,2),an-\f(1,2)) =3,
∴数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an-\f(1,2))) 是以a1- eq \f(1,2) = eq \f(3,2) 为首项,3为公比的等比数列,
∴an- eq \f(1,2) = eq \f(3,2) ·3n-1= eq \f(3n,2) ,∴an= eq \f(3n+1,2) .
[规律方法] 求解递推公式形如an+1=qan+p(p≠0,q≠0且q≠1)的数列{an}的通项公式的关键:一是利用待定系数法构造,即构造an+1+λ=q(an+λ)的形式;二是找到{an+λ}为等比数列 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中λ=\f(p,q-1))) .
在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则数列{an}的通项公式为________.
解析 由an+1=3an-4,可得an+1-2=3(an-2),
又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3为首项,3为公比的等比数列,
所以an-2=3n,所以an=3n+2.
答案 an=3n+2
类型2 递推公式形如an+1=qan+f(n)(q≠0)
在数列{an}中,a1=1,an+1=3an-2n-1(n∈N*),则an=________.
[解析] 因为an+1=3an-2n-1,所以 eq \f(an+1,2n+1) = eq \f(3,2) · eq \f(an,2n) - eq \f(1,4) ,
即 eq \f(an+1,2n+1) - eq \f(1,2) = eq \f(3,2)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)-\f(1,2))) .
因为 eq \f(a1,21) - eq \f(1,2) =0,所以 eq \f(an,2n) - eq \f(1,2) =0,故an=2n-1.
[答案] 2n-1
[规律方法] 对于an+1=pan+f(n)(其中p是常数)型递推公式,常用待定系数法将其化为an+1+Af(n+1)=p[an+Af(n)],由等比数列的定义知{an+Af(n)}是公比为p的等比数列(或常数列),由等比数列的通项公式先求出{an+Af(n)}的通项公式,再求出{an}的通项公式.
已知数列{an}满足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,求数列{an}的通项公式.
解 ∵an+1=2an-n+1,
∴an+1-(n+1)=2(an-n),
∴ eq \f(an+1-(n+1),an-n) =2,
∴数列{an-n}是以a1-1=2为首项,2为公