【金榜名师推荐】2014人教版八年级数学上册第12章《123 角的平分线的性质》配套课件+课时提升作业+提技能·题组训练（3份）

12.3 角的平分线的性质 1.角的平分线的性质和判定： (1)角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 _____. 应用格式：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴______. 相等 PD=PE (2)角的平分线的判定：角的内部到角的两边_________的点在 角的平分线上. 应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，______.∴OC平分∠AOB. 2.证明几何命题的一般步骤： (1)明确命题中的已知和求证. (2)根据题意画出图形，并用_____表示已知和求证. (3)经过分析，找出由已知推出要证的_____的途径，写出证明 过程. 距离相等 PD=PE 符号 结论 3.三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于 ___点，它到_______________. 三角形内，到三边距离相等的点是___________________. 一 三边的距离相等 三条角平分线的交点 【思维诊断】打“√”或“×” 1.三角形两个角的平分线的交点在三角形内.　( ) 2.三角形的三条角平分线交于一点.　( ) 3.三角形两个角的平分线的交点到三个顶点的距离相等.( ) 4.三角形两个角的平分线的交点到三边的距离相等.　( ) 5.AD为△ABC的角平分线，则AD上任一点到点B和点C的距离相 等.　( ) √ √ × √ × 知识点一 角平分线的性质 【示范题1】(2013·丽水中考)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°, ∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△DBC的面积 是　　　　. 【解题探究】1.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如何作辅助线，才能利用角平分线的性质? 提示：过点D作DE⊥BC于点E，则AD=DE. 2.已知BC=10，求△DBC的面积时如何求△DBC底边上的高，这条高是点D到∠ABC两边的距离吗? 提示：点D到∠ABC两边的距离正是△DBC底边上的高，使用三角形的面积公式可得到答案. 【尝试解答】作DE⊥BC， 由BD是∠ABC的平分线，BA⊥AD， 故DE=AD=3， ∴△DBC的面积= ×10×3=15. 答案：15 【想一想】 角平分线上的点到两边的距离相等，能理解成角平分线上的点到角的两边任意点连线的长度相等吗? 提示：不能.如图，已知BP是角的平分线，那么不能理解成PD=PE. 【微点拨】 　　已知条件BD是∠ABC的平分线，BA⊥AD，根据角平分线性质，作DE⊥BC，得DE=AD.有时角平分线上的点到两边的距离在题干中不一定出现垂直，但常利用直角得出垂直，遇到这种情况，通常作出另一条边的垂线，应用角平分线的性质解决问题. 【备选例题】如图，点P为∠ABC平分线上的一点，D点和E点分别在AB和BC上，且PD=PE，试探究∠BDP与∠BEP的数量关系，并给予证明. 【解析】∠BDP+∠BEP=180°. 理由：过P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N， 由角平分线性质，得PM=PN，在Rt△DPM和Rt△EPN中 ∴Rt△DPM≌Rt△EPN(HL)，∠ADP=∠BEP， 又∠BDP+∠ADP=180°，∴∠BDP+∠BEP=180°. 【方法一点通】角平分线图形结构中的“两种数量关系” 如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F， 可以得到以下结论： (1)角之间的相等关系 ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF； ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP； ∠DPO=∠EPO=∠ODF =∠OEF. (2)线段的相等关系 OD=OE，DP=EP，DF=EF. 知识点二 角平分线的判定 【示范题2】如图，在四边形ABCD中，∠ADC +∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD交AD的延长 线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD. 【思路点拨】证∠ABC=∠CDE，∠CFB=∠CED→△CFB≌△CED→CF=CE→结论 【自主解答】∵∠ADC+∠ABC=180°， 又∵∠ADC+∠CDE=180°， ∴∠ABC=∠CDE. ∵CF⊥AB，CE⊥AD， ∴∠CFB=∠CED=90°. 在Rt△CFB和Rt△CED中， ∴△CFB≌△CED(AAS)， ∴CF=CE, ∴AC平分∠BAD. 【想一想】 “角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这句话能不能去掉“角的内部”这个条件? 提示：不能.如图，点P到OA的距离PE，到OB的距离PD，且PE=PD，但点P不在∠AOB的平分线上. 【方法一点通】 证明角平分线的“两种方法” (1)定义法：应用角平分线的定义. (2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定