专题1.14 平行线几何模型（M模型）（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.14 平行线几何模型（M模型）（知识讲解） 几何模型1：M型模型（也称“猪蹄模型”） 图 一 几何模型2：鸡翅模型 图三 几何模型3：折鸡翅模型 图四 几何模型4：多个M型模型 【典型例题】 类型一、平行线几何模型➽➼猪蹄模型➻➸求解✬✬证明 1．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算； （2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 解：（1）作，，如图，且 ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 举一反三： 【变式】阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)见解析； (2)①；②结论： 【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可； （2）①利用基本结论求解即可；②利用基本结论，，求解即可． （1）证明：如图，过作， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ； （2）解：①如图2中，由题意，， 平分，平分， ， ， 故答案为：； ②结论：． 理由：如图3中，由题意，，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 类型二、平行线几何模型➽➼鸡翅模型➻➸求解✬✬证明 2．已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：； (2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】过点作，根据可知，故可得出，再由即可得出结论； 过作，依据，可得，进而得到，，再根据，即可得出． （1）证明：如图，过点作， ， ， ，． 又， ； （2）解：． 理由如下：如图，过作， ， ， ，， ， ． 【点拨】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 举一反三： 【变式】【原题】已知直线ABCD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP． (1)则∠P=______，∠E=______． (2)【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∠ABE1与的角平分线交于点，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点，…以此类推，求∠E的度数，并猜想∠E的度数． (3)【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系． 【答案】(1)110°，55°；(2)∠E的度数为，∠E的度数为 (3)∠DEB=90°-∠P 【分析】（1）过E作EFAB，而ABCD，根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解； （3）过E作EGAB，而ABCD，根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解． 解（1）如图1，过E作EFAB，而ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠AB