6.4.3.2 正弦定理-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.4.3.2 正弦定理 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.理解并掌握正弦定理的证明； 2.运用正弦定理解三角形； 3.探索正弦定理的证明过程，并能掌握多种证明方法。 1.数学抽象：正弦定理的识记； 2.逻辑推理：正弦定理的证明； 3.数学运算：用正弦定理解三角形； 概念梳理 1. 正弦定理 正弦定理的表示。 文字语言：在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等 符号语言： 2. 正弦定理的常见变形 (1) ( 为 外接圆的半径)。 (2) ( 为 外接 圆的半径)。 (3) 三角形的边长之比等于对应角的正弦比, 即 : 。 (4) 。 (5) 。 (6) . 【概念辨析】 利用正弦定理解三角形的方法 1. 已知两角和任一边时, 一般先由三角形的内角和定理求第三个角, 再由正弦定理求另两边. 2. 已知两边和其中一边的对角时, 先由正弦定理求另一边所对角的正弦值, 再结合大边对大角求角 (注意区分一解或两解), 然后根据三角形的内角和定理求第三个角, 最后根据正弦定理求第三边. 求解与三角形有关的长度或面积的取值范围 (或最值) 问题常用的方法 已知条件中出现边角混合式, 需要化异为同. 求 周长的取值范围和面积的最大值时, 可以从 “边”的角度, 利用不等式求解; 也可以从“角” 的角度, 借助三角函数求解. 1. 统一成边的形式, 利用重要不等式或基本不等式求解. 2. 统一成角的形式, 利用三角函数的性质求解. 回归教材 1. 完成下列解三角形问题 (角度精确到 , 边长精确到 ); (1) 在 中, 已知 ; (2) 在 中, 已知 . 【解析】(1) . (2) 由正弦定理得 . 为锐角, 有两解, 或 . 当 时, , . 当 时, , . 2. (1) 在 中, 已知 , 求 和 ; (2) 在 中, 已知 , 求 . 【解析】(1) 由正弦定理得 ， ， (2) 由正弦定理得 = 3. 在 中, 已知 , 求 . 【解析】, . 由正弦定理得 . 题型讲解 探究（一）已知三角形的两角和一边解三角形 【典例1】在 中, 已知 , 解这个三角形. 【解析】因为 ，所以 由 得 ，因为 , 所以 【方法总结】已知三角形的两角和任一边解三角形, 基本思路是: (1) 若所给边是已知角的对边时, 可由正弦定理求另-角所对边, 再由三角形内角和定理求出第三个角. (2) 若所给边不是已知角的对边时, 先由三角形内角和定理求出第三个角, 再由正弦定理求另外两边. 【补充训练1】在 中, 角 的对边分别为 , 已知 , 则 （ ） A. 4 B. 3 C. D. 【解析】 。由正弦定理得 。 。故选 C。 【补充训练2】在 中, 已知 , 则 【解析】因为 ,所以 .因为 ,所以 .因为 , 所以 . 【补充训练3】（多选）已知的内角所对的边分别为，且，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【解析】，，由正弦定理得：，∴.故选ABC 【方法总结】已知三角形的两角和任意一边解三角形时, 可以先由三角形的内角和定理, 计算出三角形的第三个角, 然后由正弦定理求出另外两边. 探究（二）已知三角形的两边和一边所对的角解三角形 【典例2】已知 中的下列条件, 解三角形: (1) ; (2) . 【解析】(1) 因为 ,所以 , 所以三角形无解. (2) 因为 ,所以 .因为 , 所以 . 所以 .所以 . 【方法总结】 已知两边及其中一边的对角解三角形的思路: (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值; (2)如果已知的角为小边所对的角时, 则不能判断另一边所对的角为锐角, 这时由正弦值可求两个角, 要分类讨论. 【补充训练1】在 中,已知内角 的对边分别为 , 且 , 则的值为（ ） A. B. C. D. 【解析】由正弦定理 , 得 . 由 可得 或 . 当 时, 。，由正弦定理 , 得 . 当 时, ，，由正弦定理 , 得 ，综上, 或 ， ,故选B 【补充训练2】在 中, 角 的对边分别为 , 则边 的长为 。 【解析】由 , 得 。因为 , 所以 , 所以 为 或 。 当 时, 。 此时, 。 当 时, 。 此时, 。综上知 或 。 【补充训练3】（多选）在 中, 角 的对边分别为 , 则角 可能为（ ） A. B. C. D. 【解析】因为 , 所以 , 因为 ,所以 , 即 ,所以 , 因为 ,由正弦定理得, ,所以 , 因为 , 所以 , 所以 或