6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理； 2.了解常用的测量相关术语； 3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。 1.数学抽象：常用的测量相关术语； 2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题； 3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求高度、距离、角； 4.数学模型：在适当的三角形中解高度、距离、角度。 概念梳理 1. 实际问题中的名词、术语 (1) 仰角与俯角:在视线和水平线所成角中, 视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角, 如图。 (2)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角, 如图, 点的方位角为 。 (3)方向角:指从指定方向线到目标方向线所成的小于 , 如南偏西 , 指以正南方向为始边, 顺时针方向旋转 。如图, 为北偏东 或东偏北 。 2. 解三角形应用问题的类型 解三角形的应用问题常见的有:距离问题、高度问题、角度问题等, 这些实际问题经抽象概括为三角形模型后, 其解法可归纳为以下两种情况: (1)已知量与末知量涉及一个三角形时, 可用正弦定理或余弦定理求解。 (2) 已知量与末知量涉及两个或两个以上三角形时, 先解够条件的三角形, 然后逐步求出其他三角形中的解; 有时需要设出末知量, 从几个三角形中列出方程 (组), 通过解方程 (组) 才能得出所要求的解。 【概念辨析】 1. 在实际测量过程中, 要根据实际需要选择合适的基线长度, 使测量具有较高的精砽度. 一般来说, 基线越长, 测量的精确度越高. 2. 画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形, 如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等, 这样可以优化解题过程. 3. 解三角形时, 为避免误差的积累, 应尽可能用已知的数据 (原始 数据), 少用间接求出的量. 4. 实际问题的运算过程一般较为复杂, 可以借助计算器进行运算, 注意算法要简练, 求解结果要满足精确度的要求. 回归教材 1.如图, 一艘船向正北航行, 航行速度的大小为 , 在 处看灯塔 在船的北偏东 的方向上. 后, 船航行到 处, 在 处看灯塔在船的北 偏东 的方向上. 已知距离此灯塔 mile 以外的海区为航行安全区域, 这艘船可以继续沿正北方向航行吗? 【解析】在 中, ( mile),. 由正弦定理得 ( n mile). 到直线 的距离 7.06 ( mile).因为 ,所以这艘船可以继续沿正北方向航行. 2.如下页图, 在山脚 测得山顶 的仰角为 , 沿倾斜角为 的斜坡向上走 到达 处, 在 处测得山顶 的仰角为 . 求证：山高 . 【证明】在 中, , . 在 中, 根据正弦定理得 . 所以山高为 . 3. 如下页图, 一艘海轮从 出发, 沿北偏东 的方向航行 mile后到达海岛 , 然后从 出发, 沿北偏东 的方向航行 mile后到达海岛 . 如果下次航行直接从 出发到达 , 那么这艘船应该沿怎样的方向航行, 需要航行的距离是多少? (角度精确到 , 距离精确到 mile) 【解析】在 中, . 根 据 余 弦 定 理 得 = = 根据正弦定理得 =, , 此船应该沿北偏东 的方向航行, 需要航行 n mile. 题型讲解 探究（一）距离问题 【典例1】一货轮在海上由西向东航行, 在 处望见灯塔 在货轮的东北方向, 半小时后在 处望见灯塔 在货轮 的北偏东 方向。若货轮的速度为 , 当货轮 航行到 处望见灯塔 在货轮的西北方向时, 求 两处的距离。 【解析】如图所示, 在 中, 如图 所示, 在 中, , 所以 , (n mile), 则由正弦定理,得 , 即 ,又因为 ,所以 (n mile)。在 中, 因为 , 所以 是等腰直角三角形,所以 (n mile)。 答: 两处的距离为 mile。 【方法总结】(1) 解决与距离有关的问题, 若所求的线段在一个三角形中, 则利用正、余弦定理求解即可; 若所求的线段在多个三角形中, 要根据条件选择适当的三角形, 再利用正、余弦定理求解. (2)若题目中条件告诉的是方向角时,要善于根据题目提供的方向角计算解题时需要的其它角的大小. 【补充训练1】一只船自西向东匀速航行, 上午 10 时到达灯塔 的南偏西 距灯塔 64 海里的 处,下午2时到达这座灯塔东南方向的 处, 则这只船航行的速度 (单位: 海里/时) 为（ ） A. B. C. D. 【解析】如图，由题意知， 。在 中, 由 正弦定理, 得 , 所以 。 又由 到 所用时间为