模型19 轴对称——海盗埋宝模型-备战2023年中考数学几何模型专项复习讲与练

轴对称 模型（十九）——海盗埋宝模型 【结论】如图 ，△ADC和△BEC是等腰直角三角形，A，B为直角顶点，F为DE的中点，连接FA，FB，则△FAB是等腰直角三角形. 【特征】⑴两等腰直角三角形 ⑵一组底角共顶点 ⑶另一组底角顶点相连取中点 【证明】 （方法一：倍长中线法） 如图，延长 AF至点P使得 FP=AF，连接 PE，PB，延长 PE交AC于点Q. 在△DAF 和△EPF 中，DF=EF, ∠DFA=∠EFP, AF=PF, ∴△DAF≌△EPF(SAS)，∴DA=EP,∠DAF=∠EPF. ∴DA∥EP. ∴∠EQC＝∠DAQ＝90°. 在四边形 EQCB 中， ∠EQC＋∠EBC＝90°＋90°＝180°， ∴∠QEB＋∠QCB＝360°-180°=180°. 又∵∠QEB＋∠PEB＝180°， ∴∠QCB＝∠PEB. 在△ACB和△PEB中，AC=PE, ∠ACB＝∠PEB, BC=BE, ∴△ACB≌△PEB(SAS). ∴AB=PB，∠ABC＝∠PBE ∴∠ABC＋∠ABE＝∠PBE＋∠ABE,即∠ABP＝∠CBE=90°. ∴△ABP是等腰直角三角形.又∵F是AP 的中点，∴BF⊥AP,BF=AF. ∴△FAB是等腰直角三角形，F为直角顶点. （方法二∶构造手拉手模型） 将△DAC沿 AC对称，得△PAC，将△EBC沿 BC 对称，得△QBC，连接EP，DQ. 易证△PCE≌△DCQ（手拉手模型）， ∴PE=DQ，PE⊥DQ（手拉手模型的结论）. ∵AF是△DPE的中位线，BF是△DQE的中位线 ， ∴AF＝PE，AF∥PE，BF＝DQ.BF∥DQ， ∴AF=BF，AF⊥BF， ∴△FAB是等腰直角三角形，F为直角顶点. 1．（山东省莱城区（五四学制）2017-2018学年八年级上学期期末数学试题）如图，两个等腰和，点在上，，连接，取的中点，连接. 求证：. 1．（湖北省武汉市东湖新技术开发区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角项点绕矩形ABCD（AB＜BO）的对角线的交点O旋转（图①⇒图②），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点． （1）如图①，当三角板一直角边与OD重合时，该学习小组成员意外的发现：BN2＝CD2+CN2，请你说明理由； （2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； （3）如图③，若AD＝8，AB＝6，E为矩形外的一点，且AE⊥CE，F为AE的中点，O为AC的中点，取AO的中点G，连接BG，当F在线段BG上时，则BF的值为　 　． 1．（专题32图形的变化（翻折与旋转变换）-解答题专项训练-备战2022年中考数学临考题号押题（全国通用））如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，点D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连接CK，EK，CE． (1)如图1，若α＝45°，则△ECK的形状为 ． (2)在（1）的条件下，若将图1中△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°），使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示．求证：BE﹣AE＝2CK． (3)若BC＝8，AC＝15，点D在边AC上（不与点A，C重合），AD＝2CD，将线段AD绕点A旋转，点K始终为BD的中点，则线段CK长度的最大值是多少？请直接写出结果． 2．（2019年辽宁省葫芦岛市绥中县九年级一模数学试题）如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度) (1)如图1．若a=45，则的形状为__________________； (2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：； (3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）      3．（【万唯原创】2017年安徽省中考数学-逆袭卷-特训18）如图，在和中，，，，连接，点是的中点，连接、． （1）如图①