专题6.10 实数（全章复习与巩固）（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）

专题6.10 实数（全章复习与巩固）（知识讲解） 【学习目标】 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【要点梳理】 要点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 要点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】 类型一、实数➽➼平方根✬✬立方根 1．（1）计算：． （2）求的值：． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据算术平方根，立方根，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据平方根的定义解方程即可求解． 解：（1）； ； （2）开平方得， 解得或． 【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 举一反三： 【变式1】求下列各式中的． (1) ； （2）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求平方根的方法解方程即可； （2）利用求立方根的方法解方程即可． （1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解；∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． 【变式2】“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的． 因为， 所以， ， ，，所以． “2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流． 【答案】错在由得这一步 【分析】由可得出，但不能得出，所以错在由得这一步． 解：错在由得这一步， 显然，， 所以． 【点拨】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意可得出，但不能得出，这是学生开平方时常犯的错误． 2．已知的平方根是，的立方根是2． (1) 求a，b的值； (2) 求的算术平方根． 【答案】(1) ，； (2) 的算术平方根为． 【分析】（1）由平方根的定义和列方程的定义可求得，，从而可求得a、b的值； （2）把a、b的值代入求得代