专题6.7 实数（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）

专题6.7 实数（知识讲解） 【学习目标】 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】 类型一、实数➽➼概念的理解✬✬分类 1．（2021春·八年级校考单元测试）把下列各数写入相应的集合内：，，，0.26，，0.10，5.12，，． (1) 有理数集合：{          }； (2) 正实数集合：{          }； (3) 无理数集合：{          } 【答案】(1) ， ，0.26， 0.10，5.12 (2) ，0.26，，0.10，5.12，， (3) (3) ， ， ， 【分析】（1）根据有理数的定义进行作答即可； （2）根据正数的定义进行判断即可； （3）根据无理数的定义进行判断即可． 解：(1)有理数有：， ，0.26， 0.10，5.12 故答案为：， ，0.26， 0.10，5.12 (2)，是负数，绝对值是正数 正实数有：，0.26，，0.10，5.12，， 故答案为：，0.26，，0.10，5.12，， (3)无理数有：， ， ， 故答案为：， ， ， 【点拨】本题考查了实数的分类，即实数分为正实数，零，负实数；实数还可以分为有理数和无理数，有理数包括正数和分数，无理数是无线不循环小数，熟练掌握有理数、无理数的定义是解题的关键． 举一反三： 【变式1】（2022春·江苏·八年级专题练习）把下列各数填入相应的集合内． 、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个）， (1) 有理数集合{                    …  } (2) 无理数集合{                    …  } (3) 负实数集合{                     … } 【答案】(1) －，，0， (2) ，π，，，，0.3737737773 （3）－，，. 【分析】（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案； （2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案； （3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案． 解：（1）有理数集合：{－，,0，…} （2）无理数集合：{，π，，，，0.3737737773……} （3）负实数集合：{－，，…} 【点拨】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键. 【变式2】（2021·全国·九年级专题练习）把下列各数序号分别填入相应的集合内： ①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1） 【答案】有理数集合：②⑤⑨；无理数集合：①③④⑥⑦⑧⑩；负实数集合：④⑤⑧⑨ 【分析】根据实数的性质即可分类． 解：有理数为，，； 无理数为，，，， ，，0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）； 负实数为，，，， ∴有理数集合：②⑤⑨；无理数集合：①③④⑥⑦⑧⑩；负实数集合：④⑤⑧⑨． 【点拨】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知实数的分类方法及特点． 类型二、实数➽➼实数性质✬✬实数与数轴➽➼运算✬✬化简 2．（2021秋·七年级课时练习）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． 相反数 倒数 绝对值 【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义依次即可得出答案． 解： 相反数 倒数 -5