专题6.4 立方根（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）

专题6.4 立方根（知识讲解） 【学习目标】 1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 特别说明：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 特别说明：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质 特别说明：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【典型例题】 类型一、立方根➽➼概念的理解➻➸平方根✬✬立方根 1．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 举一反三： 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．一定有平方根 D．表示的算术平方根 【答案】C 【分析】根据平方根，立方根，算术平方根的概念解答即可 解：A、64的立方根是，故本选项不合题意； B、的平方根是，故本选项不合题意； C、因为，所以一定有平方根，故本选项符合题意； D、的算术平方根是，故本选项不合题意； 故选：C 【点拨】本题考查了平方根，立方根以及算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键． 【变式2】下列说法中，不正确的是（　　） A．是的平方根 B．的平方根和立方根都是 C．负数没有立方根 D．的算术平方根和立方根都是它本身 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义，即可一一判定． 解：A. ， 是的平方根，故该选项正确，不符合题意； B.的平方根和立方根都是，故该选项正确，不符合题意； C. 负数有立方根，故该选项不正确，符合题意； D.的算术平方根和立方根都是它本身，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，若一个数的平方等于，则这个数叫做a的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根为0；若一个数的立方等于，则这个数叫做a的立方根． 类型二、立方根➽➼求一个数的立（平）方根✬✬已知立（平）方根求原数 2．求下列各式中x的值： (1) ； (2) ． 【答案】(1)或5 (2) 【分析】（1）利用平方根的性质解答，即可求解； （2）利用立方根的性质解答，即可求解． （1）解： ∴， 即， 解得：或5； （2）解： ， ∴， 解得：． 【点拨】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． 举一反三： 【变式1】求下列各式中的x的值． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用平方根解方程； （2）利用立方根解方程． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点拨】本题考查利用平方根和立方根解方程．熟练掌握平方根和立方根的概念，是解题的关键． 【变式2】求下列各式中的值： 【答案】（1）x=4；（2） 【分析】（1）根据立方根的定义解答； （2）根据平方根定义解答． 解：（1） x+2=6， x=4； （2） ． 【点拨】此题考查了利用立方根定义及平方根定义解方程，正确求一个数的立方根及平方根是解题的关键． 类型三、立方根➽➼平方根✬✬立方根➽➼综合应用 3．已知a是2的平方根，b是（﹣13）2的平方根，c的立方根是﹣3，d的算术平方根是，回答下列问题． (1) 分别求出a，b，c，d的值； (2) d的另外一个平方根落在图中的　 　．（填“段①”“段②”“段③”“段④”） 【答案】(1)a=±，b=±13；c=-27，d=2 (2)段② 【分析】（1）根据平方根和立方根的知识可求得此题结果； （2）先求得d的另外一个平方根为，再比较出它在数轴中所在的位置． 解：（1）∵（±）2==，（±13）2=（13）2，（3）3=27，（）2=2， ∴±是的平方根，±13是（13）