1.6.2 正弦定理（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　 ) A． B． C． D． A　[根据正弦定理，得＝＝.] 2．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B　[由题意有＝b＝，则sin B＝1. 又B∈(0，π)，故角B为直角，△ABC是直角三角形．] 3．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B　[由正弦定理知＝， ∴＝，∴cos C＝sin C．∴tan C＝1. 又∵0°＜C＜180°，∴C＝45°.] 4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 C　[由正弦定理＝， 得sin B＝＝＝＞1. ∴B不存在．故满足条件的三角形不存在．] 5．(多选题)已知三角形ABC的面积为，且b＝2，c＝2，则角A等于(　　) A．30° B．150° C．60° D．120° CD　[∵S△ABC＝， ∴bc sin A＝，即×2×2×sin A＝. ∴sin A＝.∴A＝60°或120°.] 6．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________． 4　[∵cos C＝，0<C<π，∴sin C＝. ∴S△ABC＝ab sin C＝×3×2×＝4.] 7．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝________． 12(3－)　[因为＝，所以＝， 所以b＝a，① 又因为a＋b＝12，② 由①②可知a＝12(3－).] 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝45°，c＝2，b＝，则A＝________． 15°或75°　[因为B＝45°，c＝2，b＝， 由正弦定理＝得：sin C＝＝＝，因为0°<C<180°，所以C＝60°或120°，所以A＝75°或15°.] 9．在△ABC中，求证：＝. 证明　根据正弦定理，可设＝＝＝k，显然k≠0，所以左边＝＝＝＝右边．等式成立． 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sinA＝a cos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 解　(1)由正弦定理得＝＝2R，R为△ABC外接圆半径． 又b sin A＝a cos B， 所以2R sin B sin A＝×2R sin A cos B. 又sin A≠0，所以sin B＝cos B，tan B＝. 又因为0<B<π，所以B＝. (2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a， 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得9＝a2＋c2－ac，所以a2＋4a2－2a2＝9，解得a＝(负值舍去)，故c＝2. 11．在△ABC中，A＝，AB＝2，S△ABC＝，则BC的长为(　　) A． B．7 C． D．3 C　[∵S△ABC＝AB·AC sin A ＝×2×AC×＝， ∴AC＝1. 则BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A ＝22＋12－2×2×1×＝3. ∴BC＝.] 12．在锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 A　[由题意，得S△ABC＝||||sin A ＝×4×1×sin A＝，∴sin A＝. 又∵A∈，∴cos A＝. ∴·＝||||cos A＝4×1×＝2.] 13．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________． 7　[∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， ∴＝＝＝2R＝2. ∴＋＋＝2＋1＋4＝7.] 14．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四边形ABCD的面积． 解　(1)由题设及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝13－12cos C.　① BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA cos A＝5＋4cos C.　② 由①②得cos C＝. 又0°＜C＜180°，∴C＝60°，BD＝. (2)四边形ABCD的面积 S＝AB·DA sin A＋BC·CD sin C ＝sin 60°＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $