1.6.1 余弦定理（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于(　　) A．1　　　　　　　　　　 B． C．2 D．4 C　[b cos C＋c cos B＝b·＋c·＝＝a＝2.] 2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° B　[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc.∴cos A＝＝. 又0°＜A＜180°，∴A＝60°.] 3．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　[由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×＝9. 所以c＝3.故a最大． 所以最大角的余弦值为 cos A＝＝＝－.] 4．在△ABC中，已知B＝60°，b2＝ac，则△ABC形状为(　　) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A　[由余弦定理的推论，得cos B＝，因为B＝60°，b2＝ac，所以cos 60°＝＝，化为(a－c)2＝0，得a＝c，所以△ABC为等边三角形．] 5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　) A． B．8－4 C．1 D． A　[由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab cos C＝2ab cos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4.∴ab＝.] 6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________． 0　[∵b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos 120° ＝a2＋c2＋ac， ∴a2＋c2＋ac－b2＝0.] 7．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________． 4　[因为b＋c＝7，所以c＝7－b. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×. 解得b＝4.] 8．在△ABC中，若a＝2b cos C，则△ABC的形状为________． 等腰三角形　[∵a＝2b cos C＝2b·＝， ∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c， ∴△ABC为等腰三角形．] 9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1. (1)求角C的度数； (2)求AB的长． 解　(1)cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－. 又C∈(0，π)，∴C＝. (2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根， ∴ ∴AB2＝a2＋b2－2ab cos ＝(a＋b)2－ab＝10， ∴AB＝. 10．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长． 解　由得 ∴a＞b＞c，∴A＝120°. ∴a2＝b2＋c2－2bc cos 120°. ∴(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×， 即b2－10b＝0. 解得b＝0(舍去)或b＝10. 当b＝10时，a＝14，c＝6. 11．(多选题)在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　) A． B． C． D． BD　[∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac， ∴·tan B＝， 即cos B·tan B＝sin B＝. ∵0＜B＜π，∴角B的值为或.] 12．在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 B　[∵sin2＝＝， ∴cos A＝＝. ∴a2＋b2＝c2，符合勾股定理逆定理．∴△ABC为直角三角形．] 13．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________． 7　[由条件知 cos A＝＝＝. 设中线长为x，由余弦定理知 x2＝＋AB2－2··AB cos A＝42＋92－2×4×9×＝49， 所以x＝7.故AC边上的中线长为7.] 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C＝3. (1)求cos C； (2)若·＝－，且a＋b＝9，求c. 解　(1)∵tan C＝3，∴＝3. 又sin2C＋cos2C＝1，∴cosC＝±. 又tan C＞0，∴C为锐角．∴cos C＝. (2)∵·＝－，∴·＝，即ab cos C＝， 又cos C＝，∴ab＝20. ∵a＋b＝9，∴(a＋b)