1.3 向量的数乘（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝(　　) A．b－a B．b＋a C．a＋b D．a－b A　[＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.] 2．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝(　　) A．5e B．－5e C．23e D．－23e C　[2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.] 3．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n AB　[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；D中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．] 4．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 B　[因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即－2＝，所以与共线．] 5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为(　　) A．－1 B．2 C．－2或1 D．－1或2 D　[因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使＝k. 因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]. 因为a与b不共线，所以解得λ＝2或λ＝－1.] 6．设向量a，b不共线，若向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________． 　[∵向量a，b不共线，∴a＋2b≠0.又向量λa＋b与a＋2b平行，故存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb.则解得] 7. 如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________． －2　[∵D为BC边上的一点，且BD＝2DC，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，故＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.] 8．若||＝2||，且＝λ，则λ＝________． ±2　[①当点C在线段AB的延长线上时，如图． 可知＝2，则λ＝2. ②当点C在线段AB上时，如图． 可知＝－2，即λ＝－2.综上，λ＝±2.] 9．已知向量e1，e2不共线，判断下列向量a，b是否共线． (1)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； (2)a＝2e1－e2，b＝e1－2e2. 解　(1)设a＝λb，则e1－e2＝λ(3e1－2e2)＝3λe1－2λe2， ∴解得λ＝，∴存在唯一实数λ＝，使a＝λb，故a与b共线． (2)设a＝λb，则2e1－e2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2， ∴λ无解，∴不存在唯一实数λ，使a＝λb，故a与b不共线． 10．计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)－； (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c). 解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)原式＝－ ＝－ ＝a＋b－a－b ＝0. (3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c) ＝6a＋2b. 11．(多选题)已知向量a，b是两个非零向量，在下列4个条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b AB　[对于A，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线．对于B，由于λ≠μ.故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线．对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线．对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线．] 12．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于(　　) A． B．－ C．－ D． C　[∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.] 13. 如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________． 3　[设＝k，0≤k≤1， 则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k， ∵＝λ＋μ，∴∴t＝λ－μ＝3k. 又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取得最大值3.故t＝λ－μ的最大值为3.] 14. 如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，； (2)若＝λ，求λ的值．