专题10 对数与对数函数-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题10 对数与对数函数 【题型归纳目录】 题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像 题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【考点预测】 1、对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 2、对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【方法技巧与总结】 1、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 【典例例题】 题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 【方法技巧与总结】 对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】设函数，则. 故选：B. 2．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y，z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，故，故 故选：C 3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，那么用含a、b的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由换底公式，. 故选：B. 4．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（    ） A． B．10 C．20 D．100 【答案】A 【解析】由，可得，， 由换底公式得，， 所以， 又因为，可得． 故选：A. 5．（2023春·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 又函数在上单调递增 所以，解得： 故不等式的解集为：. 故选：B. 6．（2023·河南许昌·统考三模）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或． 故选：D． 7．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原不等式等价于，解得，或． 故选：C 8．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则m＝________. 【答案】 【解析】因为，所以，， 所以.所以，所以. 故答案为： 9．（2023·全国·高三专题练习）求值或化简： (1) ； (2) . (3) . (4) (5) . (6) . 【答案】(1)18 (2) (3)2 (4)1 (5)-3 (6)13 【分析】 根据对数的定义，结合指数幂的运算、对数的运算求解. （1） （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） =2 （4） （5）原式 . （6）原式 =13 10．（2023春·陕西西安·高三校考期中）解下列不等式和方程： （1） （2） 【解析】（1）由，得， 所以，解得， 所以不等式的解集为， （2）设，则，得， 解得或， 当时，，得， 当时，，得， 所以方程的解为或 11．（2023·上海·高三专题练习）解下列对数方程： （1）； （2）. 【解析】（1）原式可化为：， 再化为， 即， 也即，整理得：， 解方程，得，， 经检验：是原方程增根，所以原方程的根是； （2）两边同取以10为底的对数，得，即， ∴，即. 解方程，得或，所以或， 经检验：，都是原方程的解. 12．（2023春·甘肃兰州·高三兰州市第五十五中学校考开学考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【解析】（1）由，得， 所以函数的定义域为， （2）函数为奇函数，证明如下： 因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 因为， 所以为奇函数， （3）由，得， 所以， 因为在定义域内为减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．