专题09 指数与指数函数-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题09 指数与指数函数 【题型归纳目录】 题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 题型二：指数函数的图像及性质 题型三：指数函数中的恒成立问题 题型四：指数函数的综合问题 【考点预测】 1、指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数． 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数． （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘． （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【方法技巧与总结】 1、指数函数常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 【典例例题】 题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 【方法技巧与总结】 利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 例1．（2023·全国·高三专题练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确. 故选：D 例2．（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（     ） A．－ B．－ C．－ D．－6ab 【答案】C 【解析】原式＝. 故选：C. 例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由，所以A正确； 由，所以B正确； 由， 因为，，所以，所以C错误； 由，所以D正确． 故选：ABD． 变式1．（2023·全国·高三专题练习）(a>0，b>0)＝________. 【答案】 【解析】原式＝＝. 故答案为： 变式2．（1991·全国·高考真题）不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】，则，整理得，解得. 故答案为：. 变式3．不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】． 故答案为：． 变式4．（2023春·山西运城·高三校考阶段练习）的解集为________. 【答案】 【解析】由得：，解得：，即的解集为. 故答案为：. 题型二：指数函数的图像及性质 【方法技巧与总结】 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 例4．（2023·全国·高三专题练习）函数(a>0且a≠1)的图象可能为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故AB不符合； 对于CD，因为渐近线为，故，故时，， 故选项C符合，D不符合； 当时，， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故ABD不符合； 故选：C 例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项； 分析可知： 函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确. 故选：D 例6．（2023·广东·高三统考学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（　　） A．（0，－3） B．（0，－2） C．（1，－3） D．（1，－2） 【答案】D 【解析】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）． 故选：D． 变式5．（2023·全国·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为. 另因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点. 故选：B 变式6．（2023·全国·高三专题