专题11 玩转指对幂比较大小-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题11 玩转指对幂比较大小 【题型归纳目录】 题型一：直接利用单调性 题型二：引入媒介值 题型三：含变量问题 题型四：构造函数 题型五：数形结合 题型六：特殊值法 【方法技巧与总结】 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小. （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定. （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 【典例例题】 题型一：直接利用单调性 例1．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由对数运算公式可得， 因为对数函数在上单调递增，，所以，所以，即 因为对数函数在上单调递增，，所以，所以，即， 所以， 故选：B. 例2．（2023·北京·高三专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，而，所以； 又， 令， 而函数在上递增 故选：A 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则1a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，， ， ∴. 故选：A. 题型二：引入媒介值 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则a，b，c大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为. 所以. 因为. 所以. 所以. 故选：A. 例5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 所以. 故选：C 例6．（2023春·山西大同·高三统考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， 因为， 所以. 故选：D. 变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，又，因为，所以，即；又，所以. 故选：B. 变式2．（2023春·福建泉州·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数的单调性可得，， 根据对数函数的单调性可得， 所以， 故选：D. 变式3．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，. 故选：B. 题型三：含变量问题 例7．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知，记，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 故选：A 例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，，，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为，所以，，，且，所以，故A错误； 因为，，即，故B错误，C正确； 因为，，即，故D正确. 故选：CD. 例9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由于 对于选项A：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项A错误 对于选项B：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项B错误 对于选项C：由于，所以函数 为增函数，所以 ，故选项C正确 对于选项D：，根据运算关系，当真数相同时，底数越大，对数越大，所以，故选项D正确 故选：CD 变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知不相等的两个正实数a和b，满足，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由于两个不相等的正实数a和b，满足，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即，故，A错误； 由题意得：，所以，B正确； ，其中，但不知道a和b的大小关系，故当时，，当时，，C错误； ，其中，，所以，即，D正确. 故选：BD 变式5．（2023·全国·高三专题练习）若，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知：，即，而，即， ∴，而在定义域上单调递增， ∴. 故选：B. 题型四：构造函数 例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，取