“四翼”检测评价(七)　二项式定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

“四翼”检测评价(七)　二项式定理 (一)基础落实 1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(　 ) A．9 B．10 C．11 D．8 解析：选C　∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11. 2．设n∈N*，则－C＋3C－9C＋…＋(－1)n·3n－1C等于(　 ) A.[(1－3)n－1] B．(1－3)n C．(1－3)n－1 D．[1－(1－3)n] 解析：选A　－C＋3C－9C＋…＋(－1)n·3n－1C＝[C×1n×(－3)0＋C×1n－1×(－3)1＋C×1n－2×(－3)2＋…＋C×10×(－3)n－1]＝[(1－3)n－1]． 3.6展开式中含x4项的系数是(　 ) A．12 B．60 C．192 D．240 解析：选A　Tr＋1＝Cx6－rr＝C2rx6－2r，当r＝1时，6－2r＝4，此时系数为C2r＝C21＝12. 4．设(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a50x50，则a3的值是(　 ) A．C B．2C C．C D．C 解析：选D　依题意，a3＝C＋C＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C＝C＋C＝C. 5.(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　 ) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：选C　(x＋y)5的展开式通项为Cx5－ryr，r＝0,1,2,3,4,5，则(x＋y)5的展开式有xCx5－ryr，Cx5－ryr，取r＝3和r＝1时可得10x3y3,5x3y3，合并后系数为15. 6．二项式8的展开式的常数项是________． 解析：该二项展开式的通项为Tr＋1＝Cxr＝Crx，令＝0，解得r＝2，所以所求常数项为C×2＝7. 答案：7 7．若(x＋a)10的展开式中x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝. 答案： 8．若5展开式中的常数项为－40，则a＝________. 解析：5展开式的通项为 Tr＋1＝C(2x)5－rr＝C25－rx5－2r， 因为5的展开式中的常数项为－40，所以axC22x－1＋C23x＝－40， 所以40a＋80＝－40，解得a＝－3. 答案：－3 9．已知二项式10. (1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项． 解：(1)10的展开式的第5项为T5＝C·(x2)6·4＝C·4·x12·4＝x10. (2)设第k＋1项为常数项， 则Tk＋1＝C·(x2)10－k·k＝C·x20－k·k(k＝0,1,2，…，10)， 令20－k＝0，得k＝8， 所以T9＝C ·8＝， 即第9项为常数项，其值为. 10．二项式15的展开式中： (1)求常数项； (2)有几个有理项； (3)有几个整式项． 解：展开式的通项为：Tr＋1＝(－1)rC()15－rr＝(－1)r2rCx， (1)设Tr＋1项为常数项，则＝0， 得r＝6，即常数项为T7＝26C＝320 320； (2)设Tr＋1项为有理项，则＝5－r为整数， ∴r为6的倍数，又∵0≤r≤15，∴r可取0,6,12三个数． 即共有3个有理项． (3)5－r为非负整数，得r＝0或6，∴有两个整式项． (二)综合应用 1．(多选)下列二项式中，其展开式存在常数项的有(　 ) A.5 B．8 C．x5 D．(2x＋2－x)7 解析：选BC　5展开式的通项是Tr＋1＝Cx5－rr＝(－1)rCx5－6r,5－6r＝0，r∈N，不成立，所以A不正确；8展开式的通项是Tr＋1＝28－r·(－1)rCx24－8r,24－8r＝0，r∈N，r＝3成立，所以B正确；x5展开式的通项是Tr＋1＝(－1)rCx6－2r,6－2r＝0，r∈N，r＝3成立，所以C正确；(2x＋2－x)7展开式的通项是Tr＋1＝C(2x)7－r·(2－x)r＝C2(7－2r)x,7－2r＝0，r∈N，不成立，所以D不正确． 2．今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过82 021天后是(　 ) A．星期二 B．星期四 C．星期五 D．星期六 解析：选D　82 021＝(7＋1)2 021＝C×72 021＋C×72 020＋…＋C×71＋C，∴82 021除以7余数为1，故经过82 021天后是星期六． 3．若在n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为______，此时常数项为________．(用数字作答) 解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝C(3x2)n－r·r＝(－1)r3n－rCx2n－5r，由题意，展开式中含常数项，令2n－5r＝0