6.1 第二课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第二课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 [典例]　用0,1,2,3,4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ (4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ [解]　(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)． (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)． (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． (4)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去个位用过的一个还有3个，可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字，先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个)． 对于组数问题，应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数字的最高位．　　 [对点训练] 1．若自然数n使得做竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23＋24＋25产生了进位现象．那么小于200的“可连数”的个数为 (　 ) A．18 B．20 C．22 D．24 2．从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有________个． 解析：第一类：一位数中除8外符合要求的有8个； 第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，有8×9个符合要求； 第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，有9×9个，而百位上数字是2的只有200符合． 所以总共有8＋8×9＋9×9＋1＝162(个)． 答案：162 [典例]　(1)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有 (　 ) A．360种 B．50种 C．60种 D．90种 (2)某单位把5个“先进个人奖”分给3个部门，每个部门至少1个名额，那么不同的名额分配方案总数为　　　 (　 ) A．6 B．10 C．15 D．21 [解析]　(1)第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)， 第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)， 所以共有20＋30＝50种选法． (2)5个名额分给3个部门，每个部门至少1个名额，存在两类分配方式，即2,2,1和3,1,1. 若分配方式为2,2,1，则只需从3个部门中抽取1个部门分配1个名额即可，有3种可能； 若分配方式为3,1,1，则只需从3个部门中抽取1个部门分配3个名额即可，有3种可能． 综上，共有3＋3＝6种方案． [答案]　(1)B　(2)A 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．　　 [对点训练] 1．(多选)某校实行选科走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级，该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是 (　 ) 第一节 第二节 第三节 第四节 地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层