“四翼”检测评价（五） 向量的数量积（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（五） 向量的数量积 (一)基础落实 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．－3 C．－3 D．3 解析：选B　由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3，故选B. 2．已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，因为cos θ＝＝＝－，所以θ＝. 3．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：选D　∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c， ∴a·c＝0，b·c＝0， ∴c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0. 4．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．|a＋b|＝1 B．a⊥b C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1 解析：选CD　分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B结论错误； ∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3， ∴|a＋b|＝，故A结论错误； ∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0， ∴(4a＋b)⊥b，故C结论正确； a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D结论正确． 5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，设m与n的夹角为θ，若cos θ＝，n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 解析：选B　由题意知，cos θ＝＝＝， 所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0， 所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4. 6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在b上的投影向量为________． 解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝，即a在b上的投影向量为b. 答案：b 7．已知三角形ABC中，·＜0，则三角形ABC为__________三角形． 解析：因为·＜0，故||·||cos B＜0，故cos B＜0，而B∈(0，π)，故B∈，故三角形为钝角三角形． 答案：钝角 8．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________. 解析：∵|a|2＝5，a·b＝10，|a＋b|＝5， ∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50， ∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5(舍负)． 答案：5 9．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝， 即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝， 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝. (2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1－1＋1＝1， 所以|a＋2b|＝1. 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝， 所以cos θ＝＝， 又θ∈[0，π]，故θ＝. 10．已知向量e1与e2是夹角为的单位向量，且向量a＝3e1＋4e2，b＝2e1＋λe2. (1)求|a|； (2)若a⊥(a＋b)，求实数λ的值． 解：(1)由题意知，e1·e2＝1×1×cos＝， 因为a＝3e1＋4e2， 所以|a|＝＝＝＝. (2)因为向量a＝3e1＋4e2，b＝2e1＋λe2， 所以a·b＝(3e1＋4e2)·(2e1＋λe2)＝6e＋(3λ＋8)e1·e2＋4λe＝10＋λ， 因为a⊥(a＋b)， 所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝37＋10＋λ＝0， 解得λ＝－. (二)综合应用 1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|＜|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 解析：选ACD　根据数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形， ∴|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；D正确． 故正确结论的选项是A、C、D. 2．(多选)在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若·＝2，·＝4，则下列结论中正确的是(　　) A．＝＋ B．＝－＋ C．2＋2＝13 D．BC的长度为3 解析：选BCD　＝＋＝＋＝＋