“四翼”检测评价（四） 向量的数乘（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（四） 向量的数乘 (一)基础落实 1.＝(　　) A．2a－b　　　　　　　 B．2b－a C．b－a D．a－b 解析：选B　原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b. 2．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是(　　) A．a∥b B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a 解析：选ABD　因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3<0，a与b方向相反，故B正确；由上可知|b|＝3|a|，故C错误． 3．如图，设P，Q是线段AB的三等分点(点P靠近点A)，则下列说法正确的是(　　) A．＝ B．＝－ C．＝－ D． ＝ 解析：选B　根据题意，AP＝AB，又与方向相同，∴＝，故A错误；PQ＝QA，又与方向相反，∴＝－，故B正确；BP＝AB，又与方向相反，∴＝－，故C错误；AQ＝BP，又与方向相反，∴＝－，故D错误．故选B. 4．(多选)下列非零向量a，b中，一定共线的是(　　) A．a＝2e，b＝－2e B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2 C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2 解析：选ABC　对于A，b＝－a，有a∥b；对于B，b＝－2a，有a∥b；对于C，a＝4b，有a∥b；对于D，a与b不共线． 5．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 解析：选B　＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又∵与有公共点B， ∴A，B，D三点共线． 6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 答案：4b－3a 7．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3 ，M为BC的中点，则＝____________.(用a、b表示) 解析：＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－－＋(＋) ＝－b－a＋(a＋b) ＝b－a＝(b－a)． 答案：(b－a) 8．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋ ＝m成立，则m＝________. 解析：∵＋＋＝0，∴＋＝－，又由＋＝m得(＋)－2＝m，即－3＝m＝－m，∴m＝3. 答案：3 9．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．已知＝c，＝d，试用c，d表示和. 解：如图，设＝a，＝b. ∵M，N分别是DC，BC的中点， ∴＝b，＝a. ∵在△ADM和△ABN中， 即 ①×2－②，得b＝(2c－d)， ②×2－①，得a＝(2d－c)． ∴＝d－c，＝c－d. 10．设e1，e2是两个不共线的向量，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共线； (3)若e1＋λe2与λe1＋e2不共线，试求λ的取值范围． 解：(1)证明：因为＝＋＝4e1＋e2＋8e1－9e2＝12e1－8e2＝4(3e1－2e2)＝4，所以与共线． 又与有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)因为2λe1＋e2与e1＋λe2共线， 所以存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)． 因为e1，e2不共线，所以 解得λ＝±. (3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线，则存在实数m，使e1＋λe2＝m(λe1＋e2)． 因为e1，e2不共线，所以 解得λ＝±1. 因为e1＋λe2与λe1＋e2不共线，所以λ≠±1. (二)综合应用 1．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 解析：选AB　由2a－3b＝－2(a＋2b)得b＝－4a，故A可以；由λa－μb＝0，得λa＝μb，又λ≠μ，故B可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．故选A、B. 2．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．＝a＋b B．＝－a＋b C．＝－a＋b D．＝－a＋b 解析：选ABD　＝＋＝＋＝a＋b，A正确；＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b，B正确；＝＋＝－＋＝－a＋b，C错误；＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b，D正