“四翼”检测评价（六） 平面向量基本定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（六） 平面向量基本定理 (一)基础落实 1.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基底的一组向量是(　　) A．， 　　　　　　 B．， C．， D．， 解析：选B　由基底的概念可知，作为基底的一组向量不能共线．由题图可知，与共线，与共线，与共线，均不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量，故选B. 2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝(　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 解析：选A　∵＝2，∴－＝2(－)，∴－c＝2(b－)，∴＝c＋b. 3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ (λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：选A　由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y， 所以消去λ得x＋y＝2. 4．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝－ D．＝－＋ 解析：选A　如图，D为中点，O为靠近A的三等分点，＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋＋＝－＋. 5．在△ABC中，D为AC边的中点，E为线段BD上一点，且满足＝－3，若＝λ＋μ，则＋μ＝(　　) A．1 B. C. D. 解析：选B　如图所示，＝＋＝－＝－(－)＝－×＋＝＋. ∵＝λ＋μ， ∴λ＝，μ＝， ∴＋μ＝. 6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________. 解析：∵e1，e2不共线，∴解得 ∴x＋y＝0. 答案：0 7.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝_________. 解析：＝－＝＋－＝a＋b－＝ a＋b－×＝a＋b－(a－b)＝a＋b. 答案：a＋b 8．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，若用向量a和b表示c，则c＝________. 解析：易知a，b不共线，所以设c＝xa＋yb(x，y∈R)， 则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2. 又因为e1，e2不共线，所以 解得所以c＝a－2b. 答案：a－2b 9．已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， E，F分别是BC，DC边上的中点， ∴＝＝2，＝＝2， ∴＝＝b， ＝＝＝－＝－a. ∴＝＋＋＝－＋＋ ＝－b＋a＋b＝a－b， ＝＋＝＋＝b－a. (二)综合应用 1．若＝a，＝b，＝λ (λ≠－1)，则＝(　　) A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b C．λa＋b D.a＋b 解析：选D　∵＝λ， ∴－＝λ(－)， ∴(1＋λ)＝＋λ， ∴＝＋＝a＋b. 2．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是BC边的中点 B．若＝2－，则点M在线段BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 解析：选ACD　选项A，＝＋⇒－＝－，即＝，则点M是BC边的中点，A正确． 选项B，＝2－⇒－＝－， 所以＝，则点M在线段CB的延长线上，所以B错误． 选项C，设BC的中点为D，则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C正确． 选项D，＝x＋y，且x＋y＝⇒2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1，设＝2，则＝2x＋2y,2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的.故选A、C、D. 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ (λ＞0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，则λ＝________，μ＝________. 解析：依题意得＝b－a，＝a＋b， 且＝＝(a－b)＝a－b， ＝＋＝＝(a＋b)．① 所以＝＋＝b＋＝a＋b， ＝＋＝a＋b＋＝a＋b.② 由①②及平面向量基本定理，得 解得 答案：3　 4．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一个基底； (2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共线，得⇒ ∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一个