9.3.1 平面向量基本定理（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9．3.1　平面向量基本定理 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.了解向量基底的含义．在平面内，当一个基底确定后，会用这个基底来表示其他向量． 重点 难点 重点：平面向量基本定理的应用． 难点：用基底表示平面向量. 不共线的向量 内化素养 数学运算 向量的线性运算、数量积运算 逻辑推理 结合向量的加法与减法运算推出向量与向量之间的关系 直观想象 直观地利用几何图形的特征将未知向量向已知向量转化 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（六） (单击进入电子文档) 40 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内两个_____________ 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底 对平面向量基本定理的理解 (1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． (2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值． (3)e1，e2是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 1．(多选)设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为该平面其他向量基底的是 (　　) A．与　　　　 B．与 C．与 D．与 答案：AC 2．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________． 解析：由图可知，＝4e1＋3e2. 答案：4e1＋3e2 3．若a，b是同一平面内的两个不共线向量，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为平面向量的基底． 解：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即 (2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0. 由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，但这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为平面向量的基底． —————————————————————————————— 对平面向量基本定理的理解 —————————————————————————————————— [典例]　(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是 (　　) A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝ D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 [解析]　由平面向量的基本定理可知，A、D是正确的．对于B，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．故选A、D. [答案]　AD 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示．　　 [对点训练] 1．设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是 (　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 解析：选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A、C、D中两向量均不共线，可以作为基底． 答案：B　 2．已知平面α内的两个向量e1，e2不共线，并且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面α内表示所有向量的一个基底，则实数λ的取值范围是________． 解析：若向量a，b共线，则λ＝4，故当λ≠4时，a，b不共线，此时{a，b}可作为平面内表示所有向量的一个基底． 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) —————————————————————————————— 用基底表示向量 —————————————————————————————————— [典例]　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，. 　 [解]　法一：由题意知，＝＝＝a， ＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b. 法二：设＝x，＝y，则＝＝y， 又则 所以x＝a－b，y＝a＋b， 即＝a－b，＝a＋b. 用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据： ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，向量的数乘的几何意义． (2)模型： [对点训