9.2.2 向量的数乘（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9．2.2　向量的数乘 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义． 2.理解两个平面向量共线的含义． 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 重点 难点 重点：理解向量的数乘运算与几何意义． 难点：向量共线定理的应用. 向量 相同 相反 (λμ)a λa＋μa λa＋λb b＝λa b＝λa 内化素养 直观想象 有时需要通过作图辅助解题 数学运算 考查向量的加、减与数乘运算，用已知向量表示未知向量 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（四） (单击进入电子文档) 43 (一)向量的数乘 1．向量的数乘 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个_____，记作λa.实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘 长度 |λa|＝|λ||a| 方 向 a≠0 λ＞0 λa的方向与a的方向_____ λ＜0 λa的方向与a的方向_____ 特殊情况 当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ00 几何意义 当λ＞0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小 续表 2．向量数乘的运算律与向量的线性运算 设a，b为向量，λ，μ为实数，那么 (1)λ(μ a)＝______； (2)(λ＋μ)a＝_________； (3)λ(a＋b)＝_______. 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算． 1．下列运算正确的个数是 (　　) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；　 ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 答案：C 2．下列各式中不表示向量的是 (　　) A．0·a B．a＋3b C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y) 答案：C 3．化简：2(3a＋4b)－8a＝________. 答案：－2a＋8b (二)向量共线定理 1．向量共线定理 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使________，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使_______. (1)定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. (2)定理本身包含了正反两个方面：若存在一实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa. (3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0. (4)该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数λ，它是轴上向量坐标化的依据． 2．常用结论 (1)设a，b均为实数，若，不共线，点P满足＝a＋b，a＋b＝1，则A，B，P三点共线． (2)中线向量公式：在△ABC中，若D是BC的中点，则＝(＋)． (3)与同方向的单位向量为，与共线的单位向量为±. (4)O是△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0. 答案：8 1．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是 (　　) A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 答案：C 2．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b. —————————————————————————————— 向量的线性运算 —————————————————————————————————— [典例]　化简下列各式： (1)(6a＋b)－9； (2)2； (3)(5a－4b＋c)－2(a－3b＋c)－7a. [解]　(1)原式＝6a＋b－9a－3b＝－3a－2b. (2)原式＝2－4a－3b＝4a＋3b－4a－3b＝0. (3)原式＝5a－4b＋c－2a＋6b－2c－7a＝－4a＋2b－c. 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．　　 [对点训练] 1．计算： (1)8(a＋c)＋7(a－c)－c； (2)(a＋9b－2c)＋(b＋2c)； (3)a－[(2a－b)－a]． 解：(1)原式＝8a＋8c＋7a－7c－c ＝(8＋7)a＋(8－7－1)c＝15a. (2)原式＝a＋9b－2c＋b＋2c ＝a＋(9＋1)b＋(－2＋2)c＝a＋10b. (3)原式＝a－(