“四翼”检测评价（六） 平面向量基本定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（六） 平面向量基本定理 (一)基础落实 1.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基底的一组向量是(　 ) A．， 　　　　　 B．， C．， D．， 解析：选B　由基底的概念可知，作为基底的一组向量不能共线．由题图可知，与共线，与共线，与共线，均不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量，故选B. 2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝(　 ) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 解析：选A　∵＝2，∴－＝2(－)，∴－c＝2(b－)， ∴＝c＋b. 3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ (λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　 ) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：选A　由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2. 4．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　 ) A．＝－＋ B．＝－ C．＝－ D．＝－＋ 解析：选A　如图，D为中点，O为靠近A的三等分点，＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋＋＝－＋. 5．在△ABC中，D为AC边的中点，E为线段BD上一点，且满足＝－3，若＝λ＋μ，则＋μ＝(　 ) A．1 B. C. D. 解析：选B　如图所示，＝＋＝－＝－(－)＝－×＋＝＋. ∵＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，∴＋μ＝. 6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________. 解析：∵e1，e2不共线，∴解得 ∴x＋y＝0. 答案：0 7.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝_________. 解析：＝－＝＋－＝a＋b－＝a＋b－×＝a＋b－(a－b)＝a＋b. 答案：a＋b 8．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，若用向量a和b表示c，则c＝________. 解析：易知a，b不共线，所以设c＝xa＋yb(x，y∈R)，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又因为e1，e2不共线，所以解得所以c＝a－2b. 答案：a－2b 9．已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， E，F分别是BC，DC边上的中点， ∴＝＝2，＝＝2， ∴＝＝b， ＝＝＝－＝－a. ∴＝＋＋＝－＋＋ ＝－b＋a＋b＝a－b， ＝＋＝＋＝b－a. 10．设a，b是平面内的一组基底，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线． 证明：因为＝＋＋＝a＋5b＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2a＋10b＝2(a＋5b)＝2，所以与共线． 又因为与有公共点A， 所以A，B，D三点共线． (二)综合应用 1.如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　 ) A．1 B. C. D．3 解析：选C　因为B，P，N三点共线， 所以∥，设＝λ (λ∈R)， 即－＝λ(－)， 所以＝＋. 因为＝，所以＝4， 所以＝m＋＝m＋， 由，不共线得解得 2．(多选)已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，给出以下结论，其中正确的结论是(　 ) A．若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2 B．若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2 C．存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线 D．不存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线 解析：选AD　若a与b共线，则可得λa＝b(λ∈R)，即2λe1－λe2＝ke1＋e2，由e1与e2不共线得2λ＝k，－λ＝1，解得k＝－2，所以A正确，B错误． 若e1与e2共线，则可得e1＝me2(m∈R)，则a＝2e1－e2＝(2m－1)e2，b＝ke1＋e2＝(km＋1)e2，可得a与b共线，所以C错误，D正确．故选A、D. 3．设向量是平面内一个基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以用另一个基底表示，即e1＋e2＝________. 解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)， 因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2， 因为e1，e2不共线， 所以解得 故e1＋e2＝a－b. 答案：a－b 4．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1