“四翼”检测评价（五） 向量的数量积（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（五） 向量的数量积 (一)基础落实 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　 ) A．3　　　　　　　 B．－3 C．－3 D．3 解析：选B　由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3，故选B. 2．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角．在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°. 3．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　 ) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：选D　∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c， ∴a·c＝0，b·c＝0， ∴c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0. 4．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是(　 ) A．|a＋b|＝1 B．a⊥b C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1 解析：选CD　分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误； ∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3， ∴|a＋b|＝，故A错误； ∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C正确； a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D正确． 5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，设m与n的夹角为θ，若cos θ＝，n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　 ) A．4 B．－4 C. D．－ 解析：选B　由题意知，cos θ＝＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0，所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4. 6．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 解析：(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|·cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11. 答案：11 7．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________． 解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝，即a在b上的投影向量为b. 答案：b 8．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________. 解析：∵|a|2＝5，a·b＝10，|a＋b|＝5， ∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50， ∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5(舍负)． 答案：5 9．已知|a|＝5，|b|＝4. (1)若a与b的夹角为θ＝135°. ①求a·b； ②求a在b上的投影向量． (2)若a∥b，求a·b. 解：(1)①a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 135°＝－10. ②a在b上的投影向量为|a|·cos θ＝5××＝－b. (2)∵a∥b，∴a与b的夹角为θ＝0° 或180°. 当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20. 当θ＝180°时a·b＝|a||b|cos 180°＝－20. 10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝， 即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝， 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝. (2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1－1＋1＝1，所以|a＋2b|＝1. 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝， 所以cos θ＝＝， 又θ∈[0，π]，故θ＝. (二)综合应用 1.如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝(　 ) A．20 B. C．2 D. 解析：选C　由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝＝2.故选C. 2．若O为△ABC的内心，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状是(　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 解析：选A　－＝＝－，＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以由(－)·(＋－2)＝0得(－)·(＋)＝0，即2＝2，所以||＝||，故△ABC为等腰三角形． 3.如图，在圆C中弦AB的长度为6，则·＝(　 ) A．6 B．12 C．18 D．无法确定 解析：选C　如图，取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB. ∵在圆C中弦AB的长度为6， ∴·＝(＋)·＝·＋·＝2