“四翼”检测评价（四） 向量的数乘运算（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（四） 向量的数乘运算 (一)基础落实 1.等于(　 ) A．2a－b　　B．2b－a　　 C．b－a　　 D．a－b 解析：选B　原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b. 2．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是(　 ) A．a∥b　　　　　　 B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a 解析：选ABD　因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由共线向量定理知，A正确；－3<0，a与b方向相反，故B正确；由上可知|b|＝3|a|，故C错误． 3．设a0是与向量a同向的单位向量，b0是与向量a反向的单位向量，则下列式子不正确的是(　 ) A．a0∥b0 B．a＝|a|a0 C．a0＋b0＝0 D．b0＝－ 解析：选C　因为a0是与向量a同向的单位向量，b0是与向量a反向的单位向量，所以a0与b0以及a都共线，得到a0∥b0，所以A正确；因为|a|是a的模长，且a0是与向量a同向的单位向量，所以有a＝|a|a0，所以B正确；因为a0和b0是方向相反的单位向量，所以a0＋b0＝0，所以C错误；因为|a|是a的模长，且b0是与向量a反向的单位向量，所以有a＝－|a|b0，整理得b0＝－，所以D正确． 4．(多选)下列非零向量a，b中，一定共线的是(　 ) A．a＝2e，b＝－2e B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2 C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2 解析：选ABC　对于A，b＝－a，有a∥b；对于B，b＝－2a，有a∥b；对于C，a＝4b，有a∥b；对于D，a与b不共线． 5．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　 ) A．－1或3 B. C．－1或4 D．3或4 解析：选A　因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量， 所以m＝，解得m＝－1或m＝3. 6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 答案：4b－3a 7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ＝________. 解析：因为A，B，C三点共线， 所以存在实数k使＝k. 因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b， 所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]． 因为a与b不共线，所以 解得λ＝2或λ＝－1. 答案：－1或2 8．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋ ＝m成立，则m＝________. 解析：∵＋＋＝0，∴＋＝－，又由＋＝m得(＋)－2＝m，即－3＝m＝－m，∴m＝3. 答案：3 9．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka＋b与8a＋kb的方向相反，求k的值． 解：由题意可知存在实数λ使2ka＋b＝λ(8a＋kb)，即2ka＋b＝8λa＋λkb， ∴解得或 ∵2ka＋b与8a＋kb的方向相反， ∴k＝2不符合题意，舍去，∴k＝－2. 10．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．已知＝c，＝d，试用c，d表示和. 解：如图，设＝a，＝b. ∵M，N分别是DC，BC的中点， ∴＝b，＝a. ∵在△ADM和△ABN中， 即 ①×2－②，得b＝(2c－d)， ②×2－①，得a＝(2d－c)． ∴＝d－c，＝c－d. (二)综合应用 1．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　 ) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 解析：选AB　由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，又λ≠μ，故B可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．故选A、B. 2．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　 ) A．＝a＋b B．＝－a＋b C．＝－a＋b D．＝－a＋b 解析：选ABD　＝＋＝＋＝a＋b，A正确；＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b，B正确；＝＋＝－＋＝－a＋b，C错误；＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b，D正确．故选A、B、D. 3．过△OAB的重心G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q，设＝h，＝k，则＋＝________. 解析：延