“四翼”检测评价（七） 平面向量的正交分解及坐标表示（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（七） 平面向量的正交分解及坐标表示 (一)基础落实 1．(多选)下面几种说法正确的有(　 ) A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为起点、该点为终点的向量一一对应 解析：选ABD　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误． 2．已知向量a＝(2,4)，a＋b＝(3,2)，则b等于(　 ) A．(1，－2)　　　　 B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0) 解析：选A　b＝a＋b－a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 3．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　 ) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D　因为x2＋x＋1＝2＋＞0，x2－x＋1＝2＋＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限． 4．已知向量与a＝(6，－8)的夹角为π，且||＝|a|，若点A的坐标为(－1,2)，则点B的坐标为(　 ) A．(－7,10) B．(7,10) C．(5，－6) D．(－5,6) 解析：选A　由题意知，与a方向相反，又||＝|a|，∴＋a＝0. 设B(x，y)，则＝(x＋1，y－2)， ∴解得 故点B的坐标为(－7,10)． 5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝(　 ) A．(－2,4) B．(4,6) C．(－6，－2) D．(－1,9) 解析：选A　在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3)．又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)，故选A. 6．设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________． 解析：易知i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)． 答案：(1，－2) 7．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则x＝________. 解析：∵＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，且＝a， ∴解得x＝1. 答案：1 8．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，关于坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2； ③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O； ④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)． 其中，正确结论有________个． 解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误． 答案：1 9.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． 解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， c＝(c1，c2)， 则a1＝|a|cos 45°＝2×＝， a2＝|a|sin 45°＝2×＝， b1＝|b|cos 120°＝3×＝－， b2＝|b|sin 120°＝3×＝， c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2， c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2. 因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)． 10．若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标． 解：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有 解得或 故所求向量为a＝，b＝， 或a＝，b＝. (二)综合应用 1．如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是(　 ) A. B. C．(－1，) D. 解析：选D　如图，设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x，y)， 则x＝||cos(120°＋30°)＝－， y＝||sin(120°＋30°)＝， 故的坐标是. 2．已知A(7,2)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝，则实数a的值为(　 ) A．2 B．1 C. D. 解析：选C　设C(m，n)，则＝(m－7，n－2)，＝(1－m，4－n)，又＝，所以解得m＝4，n＝3，所以C(4,3)，代入y＝ax得3＝2a，所以a＝. 3．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m⊗n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a⊗b，那么向量b等于________． 解析：设b＝