6.2.4 向量的数量积（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．2.4　向量的数量积 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量． 3.理解向量数量积的运算律，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，并会表示向量的夹角与模． 重点难点 重点：平面向量的数量积． 难点：投影向量的概念. (一)两向量的夹角与数量积 1．平面向量的夹角 ∠AOB 同向 反向 垂直 续表 2．向量的数量积 |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 投影 投影向量 |a|cos θe |a|cos θ a·b＝0. |a||b| －|a||b| |a|2 |a||b| 2．平面向量数量积的运算律 交换律 a·b＝_____ 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝________ 分配律 (a＋b)·c＝__________ b·a a·(λb) a·c＋b·c (2)细解数量积的性质及其应用 ①利用性质(1)可以解决有关向量的投影问题； ②利用性质(2)可以解决有关两向量的垂直问题； ③性质(3)表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求向量的模； ④利用性质(4)可以建立不等式，处理有关求取值范围、函数最值及证明不等式等问题． 答案：AB 答案：2 答案：C　 [拓展] 将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（五） (单击进入电子文档) 61 条件 已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点 产生过程 作＝a，＝b，则________＝θ叫做向量a与b的夹角 范围 [0，π] 特殊情况 θ＝0 a与b_____ θ＝π a与b_____ θ＝ a与b_____，记作a⊥b 定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝__________ 规定 零向量与任一向量的数量积为____ 两个向量的数量积是两向量之间一种新的乘法，与实数的乘法是有区别的，注意区分以下几点： (1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． (2)两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a，b的乘积ab (或a·b)是不同的． (3)在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但是在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即对任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0. 1．在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是 (　 ) A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是钝角 D．与的夹角是锐角 答案：B 2．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝ (　 ) A.　　　　　　　　 B. C．1 D ．－ 解析： a·b＝1×1×cos 60°＝. 答案：A　 (二)投影向量 1．投影向量的定义如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b______，叫做向量a在向量b上的__________． 2．投影向量公式 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是__________. (1)向量a在b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦值决定． (2)向量a在b上的投影向量可表示为·. (3)a在b上的投影向量与b在a上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，e是与b同向的单位向量，则向量a在向量b上的投影向量是 (　 ) A．－4e　　　　　　　 B．4e C．－2e D．2e 解析：设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝－＝－，则向量a在b上的投影向量为|a|cos θ e＝6×e＝－4e. 答案：A　 2．已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e上的投影向量是________． 解析：a在e上的投影向量是|a|cose＝4×e＝－2e. 答案：－2e (三)平面向量数量积的性质和运算律 1．数量积的性质 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝________. (2)a⊥b⇔_____