1.1 周期变化（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§1　周期变化 1．周期函数的概念 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个 T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足 ，那么函数y＝f(x)称作周期函数． 称作这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个_________就称作函数y＝f(x)的 ． 非零常数 f(x＋T)＝f(x) 非零常数T 最小 最小正数 最小正周期 (1)周期T是一个非零常数，是使函数值重复出现的自变量x的增加量． (2)周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f(x)的周期，那么nT(n∈N，n≠0)也一定是它的周期． (3)不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数f(x)＝1是周期函数，但无最小正周期． 1．你能列举生活中的几个周期变化的实例吗？ 提示：生活中周期变化的实例有很多，如钟摆的摆动、地球的公转、路口的红绿灯变化等． 2．如果钟摆每经过2 s就回到竖直状态，那么每经过多少秒可以再回到最左边位置呢？ 提示：回到竖直状态的时间间隔为2 s，即半个周期，而再回到最左边的间隔时间，也就是一个周期，所以是4 s. [解析]　由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．故选D. [答案]　D 要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象，否则不是周期现象．　　 [对点训练] 造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化．下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是 (　　) A．5.5天　 B．7天　　C．14天　　D．20天 解析：由题图可以看出该造父变星的亮度每经过7天等级相同，所以此变星亮度变化的周期是7天． 答案：B　 [典例]　下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是 (　　) [解析]　对于D，x∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数． [答案]　 D 　　 确定函数周期的几种方法 (1)观察法：通过列举前几项结果，观察发现其周期并验证； (2)图象法：通过观察函数的图象，根据图象的特征判定并得到周期； (3)定义法：确定非零实数T，通过证明f(x＋T)＝f(x)对定义域内任意x都成立．　　 [对点训练] 设函数y＝f(x)，x∈R.若函数y＝f(x)为偶函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，求证：函数y＝f(x)为周期函数． 证明：由图象关于直线x＝a对称得f(2a－x)＝f(x)，即f(2a＋x)＝f(－x)．因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，从而f(2a＋x)＝f(x)，所以f(x)是以2a为周期的周期函数． [解析]　因为f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期T＝2. 又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2， 所以f(0)＝0，f(1)＝1， 所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 022)＝0， f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 021)＝1. 故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝1 011. [答案]　1 011 利用周期解题的方法 (1)利用周期函数的定义，将目标值转化到已知区间内，结合所给条件求解； (2)应用周期现象中“周而复始”的规律性达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的，方法是确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．　　 [对点训练] 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)＝f(x＋4)，且f(1)＝1，则f(2 019)＋f(2 020)＝ (　　) A．－1　　　 B．0　　　　C．1　　　　D．2 解析：因为f(x)＝f(x＋4)， 所以函数的周期T＝4， 所以f(2 019)＝f(－1)，f(2 020)＝f(0)． 又f(x)是R上的奇函数，f(1)＝1， 所以f(－1)＝－f(1)＝－1，f(0)＝0， 所以f(2 019)＋f(2 020)＝－1＋0＝－1. 答案：A　 发展理性思维 1．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13. 若f(1)＝2，则f(99)＝________. 2.如图所示的弹簧振子在A，B之间做简谐运动，振子向右运 动时，先后以相同的速度通过M，N两点，经历的时间为t1 ＝1 s，过N点后，再经过t2＝1 s第一次反向通过N点，振子在这2 s内共通过了8 cm的路程，则振子的振动周期T＝________s. 注重实践应用 3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的