1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．1 　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 (1)对任意一个给定的角α，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的． (2)根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到sin2α＋cos2α＝1. 1．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝_________，cos α＝_________. 解析：当α的终边与x轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1. 答案：0　－1　 2．已知角α终边经过点P(5,0)，则sin α＝_________，cos α＝________. 单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．　　 [对点训练] 1．已知角α的终边上一点P0(－3，－4)，则sin α＝______，cos α＝________. 注重实践应用 3．大数学家高斯在19岁时，解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题，这是他最得意的作品之一．设α是圆内接正十七边形的一个内角，则下列说法正确的是 (　　) A．cos α>0 B．sin α<0 C．cos 2α>0 D．sin 2α>0 4．已知第二象限角θ的终边上有两点A(－1，a)，B(b,2)，且cos θ＋3sin θ＝0，则3a－b＝ (　　) A．－7 B．－5 C．5 D．7 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(四)” (单击进入电子文档) 22 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.借助单位圆理解正弦函数、余弦函数的定义． 2.会利用正弦函数、余弦函数的定义求值． 重点难点 重点：正弦函数、余弦函数的定义的应用． 难点：对正弦函数、余弦函数定义的理解. cos α 1．锐角的正弦函数和余弦函数 对于每一个锐角α，都有唯一的坐标(u，v)与之对应，在弧度意义下，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，称v＝ 为锐角α的正弦函数，u＝ 为锐角α的余弦函数． sin α cos α eq \f(y,r) eq \f(x,r) eq \r(x2＋y2) 2．利用单位圆定义任意角的正弦函数和余弦函数 如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的． 把点P的纵坐标v叫作角α的 ；把点P的横坐标u叫作角α的 ． 于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sin α为任意角α的正弦函数，u＝ 为任意角α的余弦函数． 3．用角的终边上的点的坐标表示正弦函数、余弦函数 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝ ，cos α＝ ，其中r＝ . 正弦值 余弦值 解析：∵x＝5，y＝0，∴r＝5，∴sin α＝eq \f(y,r)＝0，cos α＝eq \f(5,5)＝1. 答案：0　1 ——————————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————— 单位圆法求三角函数值 —————————————————————————————————— [典例]　在平面直角坐标系的单位圆中，α＝eq \f(8π,3). (1)画出角α； (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值． [解]　(1)因为α＝eq \f(8π,3)＝2π＋eq \f(2π,3)，所以角α的终边与角eq \f(2π,3)的终边相同．以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转eq \f(8π,3)，与单位圆交于点P，则角α如图所示． (2)由(1)知，点P在第二象限，且在角eq \f(2π,3)的终边上，所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))). (3)由(2)及正、余弦函数的定义可得sineq \f(8π,3)＝eq \f(\r(3),2)，coseq \f(8π,3)＝－eq \f(1,2). 答案：1 eq \a\vs4\al([方法技巧]) [对点训练] 1．角α终边与单位圆相交于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则cos2α＋sin2α的值为________． 解析：cos2α＝eq \f(3,4)，sin2α＝eq \f(1,4)，∴cos2α＋sin2α＝1. 2．已知角α的终边与单位圆的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c