专题10 平面向量的应用（二）-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

专题10 平面向量的应用（二） 【夯实双基】 一、余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 二、利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 三、正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 四、利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解 一解 两解 无解 ② 若A为直角或钝角时： 【概念辨析】 （1）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．( ) （2）在中，若，则一定为钝角三角形．( ) （3）在中，已知两边和其夹角时，不唯一．( ) （4）．在中，已知a，b，A，则三角形有唯一解．( ) （5）在的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素；( ) （6）在中，已知两边及夹角时，不一定唯一．( ) 【答案】（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）错误（6）错误 【典例精讲】 考点1 余弦定理 题型一 求角 例1．（2022春·陕西渭南·高二渭南市瑞泉中学校考阶段练习）在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求角即可. 【详解】可整理为，所以，又，所以. 故选：B. （2）．（2022春·贵州遵义·高二统考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，，则__________． 【答案】 【分析】根据已知，利用余弦定理求解即可. 【详解】由，得. 故答案为：. 练习1．（2022春·四川眉山·高三校考阶段练习）在中，角A，，所对的边分别为，，，设向量，，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量平行的条件得的关系，然后由余弦定理求得，从而得角大小． 【详解】∵，∴， 即，∴， 是三角形内角，则． 故选：B． 题型二 求边 例2．（2022春·陕西西安·高二校考期中）在△ABC中，若，，，则_________． 【答案】 【分析】利用余弦定理即可求解. 【详解】因为，，，由余弦定理可知，，化简可得，解得. 故答案为： （2）（2022春·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，点在边上，且，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理可求出结果； （2）在中，由余弦定理求出，在中，由余弦定理求出即可得解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 所以，即， 解得或（舍）. （2）在中，由余弦定理得， 所以，所以. 在中，. 所以. 练习2．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解判断作答. 【详解】在中，，由余弦定理得： ，即，解得或， 所以的值可能是1或2. 故选：AD （2）．（2022秋·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）已知飞机从地按北偏东的方向飞行到达地，再从地按南偏东的方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．求地与地之间的距离． 【答案】 【分析】作图后由几何关系及余弦定理求解. 【详解】 由题意得，，所以， 因为，， 所以 ， 所以，， 地在地的南偏东，地距地． 题型三 利用余弦定理判断三角形形状 例3．（2022·贵州·校联考一模）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可. 【详解】由题知，， 所以， 所以，得， 所以，得， 所以的形状为直角三角形， 故选：A 练习3．（2020春·河北衡水·高三河北武强中学校考阶段练习）中，三边长，，满足，那么的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．以上均有可能 【答案】C 【