专题08 平面向量基本定理及坐标表示-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

[在此处键入] 专题08 平面向量基本定理与坐标表示 【夯实双基】 一、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． 当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．． 二、平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示． 三、平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则=（，） 2、平面向量平行（共线）的坐标表示 平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则∥，即，或． 四、向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识点六：向量在几何中的应用 （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 （2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件 （3）求夹角问题，利用 （4）求线段的长度，可以利用或 【概念辨析】 （1）若两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) （2）向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) （3）．两向量和的坐标与两向量的顺序无关 （4）两向量差的坐标与两向量的顺序无关 （5）已知，，向量在上的投影向量为 （6）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则y的取值范围 （7）其中叫做表示这一平面内所有向量的基底 【答案】（1）错误；（2）错误；（3）正确；（4）错误；（5）正确；（6）错误；（7）错误 【典例精讲】 考点1 平面向量基本定理 题型一 利用已知向量表示未知向量 例1．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的意义，逐项判断即可作答. 【详解】是平面内两个不共线的向量， 对于A，，即向量共线，A不是； 对于B，，即向量共线，B不是； 对于D，，即向量共线，D不是； 对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是. 故选：C （2）．（江西省宜春市八校2022-2023学年高二上学期第一次（12月）联合考试数学试题）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先将写为,再根据平面向量基本定理,将写为,代入中,利用向量的加减,化为的形式,跟题中对比相等,即可得出结果. 【详解】由题知， 四点共面, 根据平面向量基本定理, 不妨设,， 则 , ， , . 故选:B 练习1．（辽宁省大连市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2)3. 【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可； （2）根据（1）的结论，转化用，表示， 根据三点共线找出等量关系； 【详解】（1）在中，由, 又， 所以， 所以 （2）因为， 又， 所以，， 所以， 又三点共线，且在线外， 所以有：， 即. 题型二 平面向量基本定理的应用 例2．（2022·全国·高三专题练习）已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【答案】B 【分析】先根据向量的线性运算得到，然后再利用奔驰定理即可求解. 【详解】由可得：, 整理可得：， 由可得，整理可得：， 所以，整理得：， 由奔驰定理可得：， 故选：. 练习2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过D分别作的平行线交于，进而根据向量关系得到线段间的比例，最后得出面积比. 【详解】如图，因为，过D分别作的平行线交于， 则为的中点，为的靠近A的三等分点， 则，， 所以，∴. 故选：B. 考点2 平面向量的正交分解及坐标表示 例1．（2022秋·河