专题07 手拉手模型综合应用（专项训练）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题07 手拉手模型综合应用（专项训练） 1．已知等边△AOB和△COD． 求证：AC＝BD． 【解答】证明：∵△AOB和△COD是等边三角形， ∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝60°， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD． 2．如图，等边△ABC，点D为BC延长线上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE．连接CE．求证：BD＝CE． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， 由旋转的性质可得：∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD 和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE． 3．以△ABC的AB，AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α．CD与BE相交于O，连结AO，如图①所示． （1）求证：BE＝CD； （2）判断∠AOD与∠AOE的大小，并说明理由． （3）在EB上取点F，使EF＝OC，如图②，请直接写出∠AFO与α的数量关系． 【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAB+∠BAC＝∠BAC+∠CAE， ∴∠DAC＝∠BAE， 又∵AD＝AB，AC＝AE， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝DC； （2）解：∠AOD＝∠AOE，理由如下： 过点A作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N， ∵△ABE≌△ADC， ∴∠ABE＝∠ADC， 又∵AD＝AB， ∴△ADM≌△ABN（AAS）， ∴AM＝AN， ∵AM⊥OD，AN⊥OE， ∴∠AOD＝∠AOE； （3）解：∵△AOD≌△AEB， ∴∠AEF＝∠ACO，AE＝AC， 又∵EF＝CO， ∴△AEF≌△ACO（SAS）， ∴∠AFE＝∠AOC，AF＝AO， ∴∠AFO＝∠AOF＝∠AOD． 又∵∠DAB＝∠DOB＝α， ∴2∠AFO＝180°﹣α． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，过点C作CD⊥CP，垂足为C，令CD＝CP，连接DP，BD，求∠BPC的度数． 【解答】解：∵CD⊥CP， ∴∠PCD＝90°， ∵PC＝CD＝2， ∴△PCD是等腰直角三角形， ∴PD＝PC＝2，∠CPD＝∠CDP＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACP+∠PCB＝90°， 又∵∠PCB+∠BCD＝90°， ∴∠ACP＝∠BCD， 在△ACP和△BCD中， ， ∴△ACP≌△BCD（SAS）， ∴BD＝PA＝3， ∵PB＝1， ∴PB2+PD2＝12+（2）2＝9， ∵PA2＝32＝9， ∴PA2＝PB2+PD2， ∴∠BPD＝90°， ∵∠CPD＝45°， ∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝135°． 5．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形． （1）如图1，线段BD与AE是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由． （2）如图1，若 B、C、E三点在一条直线上，AE与BD交于点O，求∠BOE的度数． （3）如图2，若 B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的长． 【解答】解：（1）BD＝AE，理由如下： ∵△ABC和△DCE都是等边三角形． ∴BC＝CA，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝AE； （2）由△BCD≌△ACE得，∠BDC＝∠AEC， ∵∠BOE＝∠ODE+∠DEO＝∠CDE+∠DEC＝60°+60°＝120°， ∴∠BOE的度数是120°； （3）∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝90°， ∵CD＝DE＝3， 在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE＝＝5， 由（1）同理得，△BCD≌△ACE， ∴BD＝AE＝5． 6．如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE． 求证：（1）∠CAF＝∠CBE； （2）△CEF是等边三角形． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝∠CBA＝60°， ∵D为BC的中点， ∴∠CAD＝∠CAB＝30°， 又∵BE⊥AB， ∴∠ABE＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°， ∴∠CAF＝∠CBE； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴CA＝CB， 在△CAF和△CBE中， ， ∴△CAF≌△CBE（SAS）， ∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE， ∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°， ∴△CEF是等边三角形． 7．（1）如图1，