专题5 二次根式最热考点——阅读材料题-2022-2023学年八年级数学下册专题提优及章节测试卷（人教版）

专题5 二次根式最热考点——阅读材料题（原卷版） 第1部分 典例精析+变式训练 类型一 分母有理化 典例1（2022秋•万柏林区校级月考）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：3，（）（）＝6﹣2＝4，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如，4＝22． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）的有理化因式为 　　，的有理化因式为 　　；（均写出一个即可） （2）将下列各式分母有理化：①；②．（要求：写出变形过程） 变式训练 1．（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题： 两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与． （1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：　 　． 化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：． （2）请仿照上述方法化简：． （3）比较与 的大小． 类型二 二重根式的化简 典例2（2022秋•郸城县期中）请阅读下列材料： 形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12， 由于4+3＝7，4×3＝12，即， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：　 ．（2）化简：（请写出计算过程）． 变式训练 1．（2022秋•沙县期中）阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式： 例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样m，， 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即7， ∴． 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）；（2）； 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）． 类型三 运用整体思想运算 典例3（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下面问题： （1）已知x2，求代数式x2+4x﹣5的值； （2）已知x，求代数式x3+x2+1的值． 针对训练 1．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 小明的做法是：根据得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 仿照上述方法解决问题： （1）已知，求代数式x2+6x﹣8的值； （2）已知，求代数式x3+2x2的值． 类型四 基本不等式求最值 典例4（2021春•新泰市期中）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，＝或≥，≤） （1）①当a＝2，b＝2时，　 　；②当a＝3，b＝3时，　 　； ③当a＝4，b＝4时，　 　；④当a＝3，b＝5时，　 　． （2）观察以上式子，猜想写出关于与（a＞0，b＞0）之间的数量关系：　　并进行探究证明；（提示：） （3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为 　 　． 变式训练 1．（2022春•海淀区校级期中）阅读下面材料： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a＞0，b＞0时：（）2＝a﹣2b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）请直接写出答案：当x＞0时，x的最小值为 　 　．当x＜0时，x的最大值为 　 　． （2）若y（x＞﹣1），求y的最小值． （3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和10，求四边形ABCD面积的最小值． 类型五 的化简 典例5 （2022秋•仁寿县校级月考）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发