专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧-2022-2023学年八年级数学下册专题提优及章节测试卷（人教版）

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版） 第一部分 典例精析+变式训练 类型一 分母有理化 技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。 典例1（2021秋•曲阳县期末）把化去分母中的根号后得（　　） A．4b B． C． D． 变式训练 1．（2022春•东莞市期中）化简：　　． 2．（2021春•龙山县期末）把化成最简二次根式，结果是 　　． 技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母 典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】 把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简． 解：． 上述化简的过程，就是进行分母有理化． 【问题解决】 （1）化简的结果为：　　； （2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为：　 ； （3）若有理数a，b满足，求a，b的值． 变式训练 1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：　　． 2．（2022秋•牡丹区期末）若的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1）ab＝　 　． 技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简 典例3 化简： 变式训练： 1.化简： 技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。 典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值，其中x＝5，y． 针对训练：化简： （1） （2） 技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。 24．观察下面式子的化简过程： ． 化简，并将这一问题作尽可能的推广． 变式训练： 1．化简： 类型二 分子有理化 典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”： 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：，． 因为，所以． 再例如：求y的最大值．做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y． 当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）比较34和2的大小； （2）求y的最大值． 针对训练 1．（青羊区校级期中）已知a1，b＝3﹣2，c，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 2．（2020秋•武侯区校级月考）计算： （1）比较和的大小； （2）求y3的最大值． 第2部分 专题提优训练 1．（2022秋•绥化期末）化简的结果是 　　． 2．（2021秋•阳城县期末）化简的结果是　　． 3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简：　 ． 4．（2021春•宁阳县期末）化简　　，　　． 5．（2012秋•珙县校级月考）化简：　　． 6．（2021春•江城区期末）化简的结果是　　． 7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x，y，求x2+xy+y2的平方根． 8．（2022春•普陀区校级期末）计算：． 9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算：． 10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法． 如：3+2． 除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． 如：化简． 解：设x，易知，故x＞0． 由于x2＝（）2＝2222． 解得x，即 根据以上方法，化简：． 11．（2022春•大连月考）阅读材料： 黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2）（2）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： （1）4的有理化因式可以是　　，分母有理化得　　． （2）计算： ①． ②已知：x，y，求x2+y2的值． 12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程： 1； ． 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①　　；②　　； （2）应用：求的值； （3）拓广：　 　． 13．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】 材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如