专题11 余弦定理-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题11 余弦定理 1．余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 变形 cos A＝；cos B＝；cos C＝ (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系． 2．三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素 三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 3．判断三角形时经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.　 题型一 已知两边及一角解三角形 1．在△ABC中，已知b＝60，c＝60，A＝，则a＝________ [解析]由余弦定理得：a＝ ＝60 2．在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A．4　　　　　　　　B. C. D．2 [解析]因为cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－，所以由余弦定理， 得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A. 3．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________. [解析]∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ，∴a2＋a－2＝0， 即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1或a＝－2(舍去)．∴a＝1. 4．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________. [解析]由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5. 5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A.　　 B. C．2 D．3 [解析]由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A，因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0， 所以b＝3.故选D. 6．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　) A．1　　　　　　B．2 C．3 D. [解析]由余弦定理知()2＝a2＋b2－2abcos 60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×， 解得b＝1，故选A. 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cosA＝，且b＜c，则b＝(　　) A. B．2 C．2 D．3 [解析]由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.∵b＜c，∴b＝2.故选B. 8．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________． [解析]由题意，得a＋b＝5，ab＝2. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝. 9．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________. [解析]因为b＋c＝7，所以c＝7－b.由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4. 10．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长． [解析]5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，∴x1＝，x2＝－2(舍去)，∴cos C＝. 根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16，∴c＝4，即第三边长为4. 11．在△ABC中，若a＝8，B＝60°，c＝4(＋1)，则b＝________. [解析]由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(＋1)]2－2×8×4(＋1)×cos60°＝64＋16(4＋2)－64(＋1)×＝96，∴b＝4. 12．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形. [解析]根据余弦定理得，b2＝a2＋c