专题09 平面向量数量积的坐标表示-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题09 平面向量数量积的坐标表示 1．平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．两个公式、一个充要条件 (1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝． (2)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角， 则cos θ＝＝． (3)两个向量垂直的充要条件 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 3．两点间的距离 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝，即A，B两点间的距离为. 题型一 平面向量数量积的坐标运算 1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　) A．－1　　　　　B．0 C．1 D．2 [解析]因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1. 2．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝(　　) A．(－15，12)　 B．0　 　　C．－3　　　　 D．－11 [解析]依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)， 所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3. 3．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于(　　) A．23 B．57 C．63 D．83 [解析]因为|a|2＝(－4)2＋32＝25，a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，所以3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83. 4．已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为(　　) A.　　　　B．－　　　　C．1　　　　D．－1 [解析]向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为：＝＝－1，故选D. 5．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. ①求a的坐标； ②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c. [解析]①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)． ②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a·(b·c)＝0·a＝0，(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)． 6．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________． [解析]建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)， 因为＝2，所以F(，2)．所以＝(2，1)，＝(，2)－(2，0)＝(－，2)， 所以·＝(2，1)·(－，2)＝2×(－)＋1×2＝. 7．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝________． [解析]由四边形ABCD为平行四边形，知＝＋＝(3，－1)，故·＝(2，1)·(3，－1)＝5. 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝， 则·的值是________． [解析]以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系， 则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．可设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝， 所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝. 9．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________. [解析]建立如图所示的直角坐标系， 根据题设条件即可知A(0,3)，B(－，0)，M(0,2)，∴＝(0,1)，＝(－，－2)，∴·＝－2. 10．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是(　　) A．(－3，0)　　　　　　 B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0) [解析]设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)． ·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 所以当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标为(3，0)． 11．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. [解析]以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E(x，0)，0≤x≤1. 因为M，C(1，1)，所以＝，＝(1－x，1)， 所以·＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤