专题08 平面向量数乘运算的坐标表示-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题08 平面向量数乘运算的坐标表示 1．数乘运算的坐标表示 (1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)． (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 题型一 向量数乘运算的坐标表示 1．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　) A. B. C. D. [解析]∵c＝(2b－a)＝b－a， ∴(x，y)＝(－4，－3)－(5，－2)＝＝.故选D. 2．平面内给定三个向量a＝(6,1)，b＝(－2,3)，c＝(2,2)． (1)求a＋2b－c； (2)是否存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb? [解析] (1)a＋2b－c＝(6,1)＋2(－2,3)－(2,2)＝(0,5)． (2)假设存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，则(2,2)＝λ(6,1)＋μ(－2,3)⇒⇒ 即存在实数λ＝μ＝满足等式. 题型二 向量共线的判定与证明 1．下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4) [解析]A中，－2×6－3×4≠0，B中3×3－2×2≠0，C中1×14－(－2)×7≠0， D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D. 2．已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ [解析]因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0，所以∥，所以与共线． 又＝，所以与的方向相同． 法二：因为＝－2，所以与共线且方向相反． 3．已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：点A，B，C共线； [解析]由题意知＝－＝(4，8)，＝－＝(6，12)，所以＝， 即与共线．又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线． 4．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是(　　) A．(－9，1) B．(9，－1) C．(9，1) D．(－9，－1) [解析]设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以∥. 因为＝－(1，－3)＝，＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)， 所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C. 5．已知A，B，C三点共线，且A(－3，6)，B(－5，2)，若C点的纵坐标为6，则C点的横坐标为(　　) A．－3　　　　　　　　B．9 C．－9 D．3 [解析]设C(x，6)，因为A，B，C三点共线，所以∥， 又＝(－2，－4)，＝(x＋3，0)，所以－2×0＋4(x＋3)＝0.所以x＝－3. 6．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且＝，＝，求证：∥. [解析]设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)， ＝(4，－1)．因为＝，所以＝，所以(x1＋1，y1)＝，故E. 因为＝，所以＝，所以(x2－3，y2＋1)＝，故F. 所以＝.又因为4×－×(－1)＝0，所以∥. 7．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且＝，＝. (1)求E，F的坐标； (2)判断与是否共线． [解析] (1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)．依题意得＝(2,2)，＝(－2，3)． 由＝可知，(x1＋1，y1)＝(2,2)，即解得∴E的坐标为. 由＝可知，(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)， 即解得∴F的坐标为. 故E点的坐标为，F点的坐标为. (2)由(1)可知＝－＝，又＝(4，－1)， ∴＝(4，－1)＝，故与共线． 题型三 已知平面向量共线求参数 1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(λ，1)．若a＋b与a平行，则λ＝(　　) A．－5　　　　　　　B． C．7 D．－ [解析]a＋b＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由a＋b与a平行，可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得λ＝－. 2．若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为(　　) A.　　　　　　　 B．－ C．2 D．－2 [解析]由a∥b得