专题07 平面向量的坐标表示及加减法-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题07 平面向量的坐标表示及加减法 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示． (3)向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 2．平面向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有： 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 题型一 平面向量的坐标表示 1．给出下列几种说法： ①相等向量的坐标相同； ②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应唯一的一个向量； ④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误． 2．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点， 若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则＋的坐标是(　　) A．(1，－2)　　　B．(7,6) C．(5,0) D．(11,8) [解析]因为＝(4,2)，＝(3,4)，所以＋＝(4,2)＋(3,4)＝(7,6)． 3．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)． ①＝2i＋3j；②＝3i＋4j；③＝－5i＋j；④＝5i－j. [解析]i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j ，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确. 4．已知点A(－1，－2)，B(4,3)，则的坐标为(　　) A．(3,1) B．(－5，－5) C．(5,5) D．(－5,5) [解析]＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)，故选C. 5．已知A(－1，2)，B(2，8)．若＝，＝－，则的坐标为________． [解析]＝＝(3，6)＝(1，2)，＝－＝－(3，6)＝(－2，－4)， ＝＋＝(－1，－2)，所以＝(1，2)． 6．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　) A．第一、二象限　　　 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析] x2＋x＋1＝2＋＞0，x2－x＋1＝2＋＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； [解析]　(1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2， AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，∴A(2，2)，故a＝(2，2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，∴C， ∴＝＝，即b＝. (2)＝－＝. 题型二 平面向量的坐标运算 1．已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标． [解析]a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)． 2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A．(－7，－4)　　 B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) [解析]法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以 从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A. 法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A. 3．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点， 若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是(　　) A．(1，－2)　　　　　 B．(7，6)