专题06 平面向量基本定理-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题06 平面向量基本定理 知识点一 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 知识点二 名师点拨 (1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底． (2)基底{e1，e2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的． 题型一 平面向量基本定理的理解(对基底的理解) 1．设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)． [解析]①设e1＋e2＝λe1，则无解， 所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底． ②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0， 则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底． ③因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线， 即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底． ④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线， 即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底． 【答案】　③ 2．已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是(　　) A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2,4e2－6e1} C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e1＋e2} [解析]∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线， ∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．故应选B. 3．设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(　　) ①与；②与；③与；④与. A．①②　　　　　　 B．①③ C．①④ D．③④ 解析：寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中，与不共线，与不共线； 而∥，∥，故①③可作为基底． 4．点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　) A.，　　　　　　　　B.， C.， D.， [解析]选B.由题图可知，与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线， 可作为基底向量． 5．若向量a，b不共线，则c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断{c，d}能否作为基底． [解析]　设存在实数λ，使c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量a，b不共线，所以2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的， 从而c，d不共线，{c，d}能作为基底． 6．若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(　　) ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对； ③若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ， 使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①②　　　　　　　 B．②③ C．③④ D．② [解析]选B.由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③， 当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B. 7．下面三种说法中，正确的是(　　) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ [解析]只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B. 8．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一个基底； (2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2. [解析] (1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共线，得所以λ不存在．故a与b不共线，可以作为一个基底． (2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－