专题05 向量的数量积-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题05 向量的数量积 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向． ②当θ＝π时，向量a，b反向． ③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b. 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. 3．投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量． 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． (2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|cosθ e. 4．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 6．求投影的两种方法： (1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为. 题型一 平面向量的数量积运算及投影 1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝ [解析]m·n＝|m|·|n|cos 45°＝4×6×＝12. 2．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝ [解析]a·b＝1×1×cos 60°＝. 3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于 [解析]a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝. 4．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)． [解析] (a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2 ＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192. 5．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为 [解析]由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3. 6．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝ [解析]a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3 7．已知|a|＝，|b|＝1，且a－b与a＋2b互相垂直，则a·b＝______． [解析]因为a－b与a＋2b互相垂直，所以(a－b)·(a＋2b)＝0，即a2＋a·b－2b2＝0. 又因为|a|＝，|b|＝1，所以a·b＝2b2－a2＝2×12－()2＝0，即a·b＝0. 8．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ [解析]∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，∴a·c＝0，b·c＝0，c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0. 9．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝___． [解析]设a与b的夹角为θ，则θ＝120°， 所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－. 10．已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求： ①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)． [解析]　①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91. ②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°， 所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝200＋15－9＝206. 11．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求： ①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)． [解析] (1)①a·b＝|a||b|cos θ＝2